Theorem unirnioo 8996

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 8971	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 8994	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 5066	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 8848	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 8846	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 5668	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1268	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2152	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 3629	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 5072	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 3760	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 143	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 3015	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ⊆ wss 2973  𝒫 cpw 3382  ∪ cuni 3601   × cxp 4361  ran crn 4364   Fn wfn 4917  ⟶wf 4918  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  +∞cpnf 7150  -∞cmnf 7151  ℝ^*cxr 7152  (,)cioo 8911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-ioo 8915

This theorem is referenced by: (None)