Theorem dfmptg 5363

Description: Alternate definition for the "maps to" notation df-mpt 3841 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5041	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2		vex 2604	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		xpsng 5359	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
4	2, 3	mpan 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
5	4	ralimi 2426	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6		iuneq2 3694	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
8	1, 7	syl5eq 2125	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  Vcvv 2601  {csn 3398  ⟨cop 3401  ∪ ciun 3678   ↦ cmpt 3839   × cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by:  fnasrng  5364