Theorem elfzmlbp 9143

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9036	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
2		znn0sub 8416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
4	3	biimpcd 157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
6	5	impcom 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zaddcl 8391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
15	14	zred 8469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16		letr 7194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
18		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		addge01 7576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
20	8, 18, 19	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
21		elnn0z 8364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
22	21	simplbi2 377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
23	22	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
24	20, 23	sylbird 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
25	17, 24	syld 44	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	imp 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		df-3an 921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		3ancoma 926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
29	27, 28	bitr3i 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
30	10, 7, 18	3anim123i 1123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	29, 30	sylbi 119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32		lesubadd2 7539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
34	33	biimprcd 158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
35	34	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
36	35	impcom 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
37	6, 26, 36	3jca 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
38	37	exp31 356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	com23 77	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
40	39	3adant2 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
41	40	imp 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
43	1, 42	syl5bi 150	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
44	43	imp 122	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45		elfz2nn0 9128	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 132	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981   + caddc 6984   ≤ cle 7154   − cmin 7279  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

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