Theorem fmptpr 5376

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fmptpr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fmptpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
fmptpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
fmptpr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3405	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3		mpt0 5046	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) = ∅
4	3	uneq1i 3122	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		uncom 3116	. . . . 5 ⊢ (∅ ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6		un0 3278	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
7	4, 5, 6	3eqtri 2105	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩}
8		fmptpr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elex 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		fmptpr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
12		elex 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		uncom 3116	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = (∅ ∪ {𝐴})
15		un0 3278	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ∪ ∅) = {𝐴}
16	14, 15	eqtr3i 2103	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴}
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∅ ∪ {𝐴}) = {𝐴})
18		fmptpr.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐸 = 𝐶)
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
20	7, 19	syl5eqr 2127	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸))
21	20	uneq1d 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
22		fmptpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		elex 2610	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
25		fmptpr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
26		elex 2610	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → 𝐷 ∈ V)
27	25, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
28		df-pr 3405	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
29	28	eqcomi 2085	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵}
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = {𝐴, 𝐵})
31		fmptpr.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐸 = 𝐷)
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐸) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))
33	2, 21, 32	3eqtrd 2117	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∪ cun 2971  ∅c0 3251  {csn 3398  {cpr 3399  ⟨cop 3401   ↦ cmpt 3839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by: (None)