Theorem fundmfibi 6390

Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfibi	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmfi 6389	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
2	1	ancoms 264	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
3		funfn 4951	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
4		fnfi 6388	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	3, 4	sylanb 278	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
6	2, 5	impbida 560	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  dom cdm 4363  Fun wfun 4916   Fn wfn 4917  Fincfn 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-1o 6024  df-er 6129  df-en 6245  df-fin 6247

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6393  negfi  10110