Theorem fzrevral 9122

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
2		elfzelz 9045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		fzrev 9101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
4	3	anassrs 392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	2, 4	sylan2 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
6	1, 5	mpbid 145	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7		rspsbc 2896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
9	8	ex 113	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
10	9	3impa 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
11	10	com23 77	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
12	11	ralrimdv 2440	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
13		nfv 1461	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐾 ∈ ℤ
14		nfcv 2219	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))
15		nfsbc1v 2833	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
16	14, 15	nfralxy 2402	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
17		fzrev2i 9103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
18		oveq2 5540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
19	18	sbceq1d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
20	19	rspcv 2697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
22		zcn 8356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
23		elfzelz 9045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 8470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
25		nncan 7337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
26	22, 24, 25	syl2an 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
27	26	eqcomd 2086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
28		sbceq1a 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
30	21, 29	sylibrd 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑))
31	30	ex 113	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑)))
32	31	com23 77	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
33	13, 16, 32	ralrimd 2439	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34	33	3ad2ant3 961	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
35	12, 34	impbid 127	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  [wsbc 2815  (class class class)co 5532  ℂcc 6979   − cmin 7279  ℤcz 8351  ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  fzrevral2  9123  fzrevral3  9124  fzshftral  9125