Theorem fztri3or 9058

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1107	. . 3 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2	1	adantl 271	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
3		3mix3 1109	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
4	3	adantl 271	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
5		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
6		simpl2 942	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	zred 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpl1 941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	zred 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 7227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
11	5, 10	mpbird 165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12	11	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑀 ≤ 𝐾)
13		simpr 108	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
14	9	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
15		simpll3 979	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zred 8469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	14, 16	lenltd 7227	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	13, 17	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
19		elfz 9035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
20	19	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
21	20	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
22	12, 18, 21	mpbir2and 885	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
23	22	3mix2d 1114	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
24		zdclt 8425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
25	24	ancoms 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
26	25	3adant2 957	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝐾)
27	26	adantr 270	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → DECID 𝑁 < 𝐾)
28		df-dc 776	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
29	27, 28	sylib 120	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝑁 < 𝐾 ∨ ¬ 𝑁 < 𝐾))
30	4, 23, 29	mpjaodan 744	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑀) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
31		zdclt 8425	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
32	31	3adant3 958	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 < 𝑀)
33		df-dc 776	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
34	32, 33	sylib 120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ ¬ 𝐾 < 𝑀))
35	2, 30, 34	mpjaodan 744	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661  DECID wdc 775   ∨ w3o 918   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  fzdcel  9059