Theorem iccdil 9020

Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdil.1	⊢ (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
iccdil.2	⊢ (𝐵 · 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccdil	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccdil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rpre 8740	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
3		remulcl 7101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
5	1, 4	2thd 173	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
6	5	adantl 271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
7		elrp 8736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
8		lemul1 7693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
9	7, 8	syl3an3b 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
10	9	3expb 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
11	10	adantlr 460	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
12		iccdil.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
13	12	breq1i 3792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅))
14	11, 13	syl6bb 194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅)))
15		lemul1 7693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
16	7, 15	syl3an3b 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
17	16	3expb 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
18	17	an12s 529	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
19	18	adantll 459	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
20		iccdil.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
21	20	breq2i 3793	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅) ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)
22	19, 21	syl6bb 194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷))
23	6, 14, 22	3anbi123d 1243	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
24		elicc2 8961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
25	24	adantr 270	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
26		remulcl 7101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
27	12, 26	syl5eqelr 2166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
28		remulcl 7101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑅) ∈ ℝ)
29	20, 28	syl5eqelr 2166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
30		elicc2 8961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	27, 29, 30	syl2an 283	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	31	anandirs 557	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
33	2, 32	sylan2 280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
34	33	adantrl 461	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
35	23, 25, 34	3bitr4d 218	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℝ⁺crp 8734  [,]cicc 8914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-rp 8735  df-icc 8918

This theorem is referenced by:  iccdili  9021  lincmb01cmp  9025  iccf1o  9026