Theorem mulextsr1lem 6956

Description: Lemma for mulextsr1 6957. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulextsr1lem	⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Proof of Theorem mulextsr1lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcomprg 6768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2	1	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
3		addclpr 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
4	3	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5		simp2l 964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑍 ∈ P)
6		simp3r 967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑉 ∈ P)
7		mulclpr 6762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
8	5, 6, 7	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
9		simp1r 963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑌 ∈ P)
10		mulclpr 6762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
11	9, 6, 10	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
12	4, 8, 11	caovcld 5674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) ∈ P)
13		simp1l 962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑋 ∈ P)
14		simp3l 966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑈 ∈ P)
15		mulclpr 6762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
16	13, 14, 15	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
17		simp2r 965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑊 ∈ P)
18		mulclpr 6762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
19	17, 14, 18	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
20	4, 16, 19	caovcld 5674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) ∈ P)
21	2, 12, 20	caovcomd 5677	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
22		addassprg 6769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
23	22	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
24	16, 11, 8, 2, 23, 19, 4	caov411d 5706	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))))
25		distrprg 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
26	25	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
27		mulcomprg 6770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
28	27	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
29	26, 13, 17, 14, 4, 28	caovdir2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)))
30	26, 5, 9, 6, 4, 28	caovdir2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)))
31	29, 30	oveq12d 5550	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
32	21, 24, 31	3eqtr4d 2123	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)))
33		mulclpr 6762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
34	13, 6, 33	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
35		mulclpr 6762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
36	9, 14, 35	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
37		mulclpr 6762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
38	5, 14, 37	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
39		mulclpr 6762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
40	17, 6, 39	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
41	34, 36, 38, 2, 23, 40, 4	caov411d 5706	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
42	26, 5, 9, 14, 4, 28	caovdir2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)))
43	26, 13, 17, 6, 4, 28	caovdir2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉)))
44	42, 43	oveq12d 5550	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
45	41, 44	eqtr4d 2116	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)))
46	32, 45	breq12d 3798	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) ↔ (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
47	29, 20	eqeltrd 2155	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P)
48	30, 12	eqeltrd 2155	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P)
49		addclpr 6727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
50	5, 9, 49	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
51		mulclpr 6762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
52	50, 14, 51	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
53		addclpr 6727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
54	13, 17, 53	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
55		mulclpr 6762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
56	54, 6, 55	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
57		addextpr 6811	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P) ∧ (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
58	47, 48, 52, 56, 57	syl22anc 1170	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
59		mulcomprg 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
60	59	3adant2 957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
61		mulcomprg 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
62	61	3adant1 956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
63	60, 62	breq12d 3798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ↔ (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌))))
64		ltmprr 6832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
65	63, 64	sylbid 148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
66	54, 50, 14, 65	syl3anc 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
67		mulcomprg 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
68	50, 6, 67	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
69		mulcomprg 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
70	54, 6, 69	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
71	68, 70	breq12d 3798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ↔ (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊))))
72		ltmprr 6832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ (𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
73	50, 54, 6, 72	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
74	71, 73	sylbid 148	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
75	66, 74	orim12d 732	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
76	58, 75	syld 44	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
77	46, 76	sylbid 148	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
78		addcomprg 6768	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
79	5, 9, 78	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
80	79	breq2d 3797	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ↔ (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍)))
81		addcomprg 6768	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
82	13, 17, 81	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
83	82	breq2d 3797	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊) ↔ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋)))
84	80, 83	orbi12d 739	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)) ↔ ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))
85	77, 84	sylibd 147	1 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 661   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  Pcnp 6481   +_P cpp 6483   ·_P cmp 6484  <_P cltp 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-imp 6659  df-iltp 6660

This theorem is referenced by:  mulextsr1  6957