Theorem oveq12d 5550

Description: Equality deduction for operation value. (Contributed by NM, 13-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oveq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
oveq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
oveq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = (𝐵𝐹𝐷))

Proof of Theorem oveq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		oveq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		oveq12 5541	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐹𝐶) = (𝐵𝐹𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = (𝐵𝐹𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284  (class class class)co 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  oveq123d  5553  ovmpt2dxf  5646  ovmpt2df  5652  caovdig  5695  caovdir2d  5697  caovdirg  5698  caovdilemd  5712  caovlem2d  5713  offval  5739  fnofval  5741  offval2  5746  ofco  5749  caofinvl  5753  offres  5782  nnmsucr  6090  nndir  6092  ecovdi  6240  ecovidi  6241  dfplpq2  6544  dfmpq2  6545  addcmpblnq  6557  mulpipqqs  6563  addassnqg  6572  distrnqg  6577  ltaddnq  6597  halfnqq  6600  enq0tr  6624  addcmpblnq0  6633  addnq0mo  6637  addnnnq0  6639  nqnq0a  6644  distrnq0  6649  addassnq0  6652  distnq0r  6653  nq02m  6655  ltexpri  6803  cauappcvgprlemm  6835  cauappcvgprlemloc  6842  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  cauappcvgprlem1  6849  cauappcvgprlem2  6850  cauappcvgprlemlim  6851  cauappcvgpr  6852  caucvgprlemnkj  6856  caucvgprlemnbj  6857  caucvgprlemm  6858  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemcl  6866  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlemladdrl  6868  caucvgprlem2  6870  caucvgpr  6872  caucvgprprlemelu  6876  caucvgprprlemcbv  6877  caucvgprprlemval  6878  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemopu  6889  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlemclphr  6895  caucvgprprlemexbt  6896  caucvgprprlem2  6900  mulcmpblnrlemg  6917  mulsrmo  6921  mulsrpr  6923  mulcomsrg  6934  distrsrg  6936  recexgt0sr  6950  mulgt0sr  6954  mulextsr1lem  6956  caucvgsrlemgt1  6971  caucvgsr  6978  addcnsr  7002  mulcnsr  7003  recidpirqlemcalc  7025  axaddcl  7032  axmulcl  7034  axmulcom  7037  axmulass  7039  axdistr  7040  axcaucvglemcau  7064  axcaucvglemres  7065  adddir  7110  muladd11  7241  1p1times  7242  muladd11r  7264  pnpcan2  7348  muladd  7488  subdir  7490  mulsub  7505  mulreim  7704  apadd1  7708  mulext1  7712  recextlem1  7741  muleqadd  7758  divdirap  7785  divadddivap  7815  conjmulap  7817  divcanap5rd  7904  xp1d2m1eqxm1d2  8283  div4p1lem1div2  8284  cnref1o  8733  icoshftf1o  9013  lincmb01cmp  9025  iccf1o  9026  fz01en  9072  fzrev3  9104  fzrevral2  9123  fzrevral3  9124  fzshftral  9125  fzoaddel2  9202  fzosubel  9203  fzosubel2  9204  fzocatel  9208  modqsubdir  9395  addmodlteq  9400  frecuzrdgsuc  9417  frecfzen2  9420  iseqovex  9439  iseqcaopr3  9460  iseqid3s  9466  iseqdistr  9470  serile  9474  mulexp  9515  mulexpzap  9516  expaddzap  9520  expubnd  9533  subsq  9581  binom2  9585  binom21  9586  binom2sub  9587  binom3  9590  sqoddm1div8  9625  nn0opthlem1d  9647  nn0opthd  9649  facp1  9657  facubnd  9672  bcval  9676  bcn1  9685  bcm1k  9687  bcp1n  9688  bcp1nk  9689  ibcval5  9690  bcn2  9691  bcpasc  9693  crre  9744  replim  9746  remullem  9758  remul2  9760  immul2  9767  cjcj  9770  cjadd  9771  ipcnval  9773  cjmulval  9775  cjneg  9777  imval2  9781  cjreim  9790  cvg1nlemcau  9870  cvg1nlemres  9871  resqrexlemp1rp  9892  resqrexlemfp1  9895  resqrexlemcalc1  9900  resqrexlemcalc2  9901  resqrex  9912  sqabsadd  9941  sqabssub  9942  absreimsq  9953  recan  9995  amgm2  10004  maxabslemab  10092  maxabslemval  10094  max0addsup  10105  subcn2  10150  climle  10172  climcvg1nlem  10186  serif0  10189  dvds2ln  10228  odd2np1lem  10271  gcdaddm  10375  bezoutlemnewy  10385  dfgcd3  10399  dvdsgcd  10401  mulgcd  10405  mulgcdr  10407  gcddiv  10408  sqgcd  10418  lcmgcdlem  10459  lcmgcd  10460  qredeu  10479  divgcdcoprm0  10483  cncongr1  10485  oddpwdclemdc  10551  sqrt2irraplemnn  10557