Theorem mulid1d 7136

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid1 7116	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   · cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-mulcl 7074  ax-mulcom 7077  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-1rid 7083  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  muladd11  7241  ltmul1  7692  mulap0  7744  divrecap  7776  diveqap1  7793  conjmulap  7817  apmul1  7876  qapne  8724  divelunit  9024  modqid  9351  q2submod  9387  addmodlteq  9400  expadd  9518  leexp2r  9530  nnlesq  9578  sqoddm1div8  9625  nn0opthlem1d  9647  faclbnd  9668  faclbnd2  9669  faclbnd6  9671  facavg  9673  bcn0  9682  bcn1  9685  1dvds  10209  bezoutlema  10388  bezoutlemb  10389  gcdmultiple  10409  sqgcd  10418  lcm1  10463  coprmdvds  10474  qredeu  10479