Theorem addmodlteq 9400

Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addmodlteq	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 9157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		zq 8711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℚ)
5		simp3 940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℤ)
6		zq 8711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℚ)
8		elfzo0 9191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
9	8	biimpi 118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
10	9	3ad2ant1 959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
11	10	simp2d 951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		nnq 8718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
14	11	nngt0d 8082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
15		modqaddmod 9365	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
16	4, 7, 13, 14, 15	syl22anc 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
17	16	eqcomd 2086	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
18		elfzoelz 9157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
19	18	3ad2ant2 960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
20		zq 8711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℚ)
22		modqaddmod 9365	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
23	21, 7, 13, 14, 22	syl22anc 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
24	23	eqcomd 2086	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
25	17, 24	eqeq12d 2095	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
26	2, 11	zmodcld 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 8467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℤ)
28	27, 5	zaddcld 8473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℤ)
29	28, 11	zmodcld 9347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 8343	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
31	19, 11	zmodcld 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 8467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℤ)
33	32, 5	zaddcld 8473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℤ)
34	33, 11	zmodcld 9347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 8343	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
36	30, 35	subeq0ad 7429	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
37		oveq1 5539	. . . . 5 ⊢ (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
38	4, 13, 14	modqcld 9330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℚ)
39		qaddcl 8720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
40	38, 7, 39	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
41	21, 13, 14	modqcld 9330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℚ)
42		qaddcl 8720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
43	41, 7, 42	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
44		modqsubmodmod 9385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
45	40, 43, 13, 14, 44	syl22anc 1170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
46	26	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
47	31	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
48	5	zcnd 8470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	pnpcan2d 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) = ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)))
50	49	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	45, 50	eqtrd 2113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
52		q0mod 9357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
53	13, 14, 52	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑁) = 0)
54	51, 53	eqeq12d 2095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0))
55		zmodidfzoimp 9356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
56	55	3ad2ant1 959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
57		zmodidfzoimp 9356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
58	57	3ad2ant2 960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
59	56, 58	oveq12d 5550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) = (𝐼 − 𝐽))
60	59	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁))
61	60	eqeq1d 2089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0))
62		qsubcl 8723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℚ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℚ)
63	4, 21, 62	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℚ)
64		modq0 9331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 − 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
65	63, 13, 14, 64	syl3anc 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
66	2, 19	zsubcld 8474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
67		zdiv 8435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
68	11, 66, 67	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
69		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
70	69	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
71	11	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
72	71	mul01d 7497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0) = 0)
73	72	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
74	70, 73	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 𝑘) = 0)
75	74	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 = (𝐼 − 𝐽)))
76		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = (𝐼 − 𝐽) ↔ (𝐼 − 𝐽) = 0)
77	10	simp1d 950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℕ0)
78	77	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 ∈ ℂ)
80		elfzo0 9191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
81	80	biimpi 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
82	81	3ad2ant2 960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
83	82	simp1d 950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
84	83	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
85	84	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐽 ∈ ℂ)
86	79, 85	subeq0ad 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐼 − 𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
87	86	biimpd 142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐼 − 𝐽) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
88	76, 87	syl5bi 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (0 = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
89	75, 88	sylbid 148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
90	89	imp 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) → 𝐼 = 𝐽)
91	90	an32s 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 = 𝐽)
92		subfzo0 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
93	92	3adant3 958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
94	93	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
95	94	simprd 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)
96		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽))
97	71	mulid1d 7136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
98	97	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
99	95, 96, 98	3brtr4d 3815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1))
100		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
101	100	zred 8469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
102		1red 7134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
103	11	nnrpd 8772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
104	103	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
105	101, 102, 104	ltmul2d 8816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
106	99, 105	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 < 1)
107		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	nnge1d 8081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
109	102, 101, 108	lensymd 7231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 < 1)
110	106, 109	pm2.21dd 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = 𝐽)
111	93	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
112	111	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑁 < (𝐼 − 𝐽))
113		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽))
114	112, 113	breqtrrd 3811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑁 < (𝑁 · 𝑘))
115	11	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
116	115	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
117		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
118	116, 117	zmulcld 8475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℤ)
119	118	zred 8469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
120	119	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
121	11	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
122	121	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
123	120, 122	possumd 7669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝑁 · 𝑘)))
124	114, 123	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁))
125	97	eqcomd 2086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
126	125	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
127	126	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
128	71	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
129	117	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
130	129	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
131		1cnd 7135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
132	128, 130, 131	adddid 7143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
133	127, 132	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑘 + 1)))
134	124, 133	breqtrd 3809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
135	117	peano2zd 8472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
136	116, 135	zmulcld 8475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
137	136	zred 8469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
138	137	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
139		0red 7120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
140	71	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
141	135	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
142	140, 141	mulcomd 7140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝑁))
143	142	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝑁))
144	135	zred 8469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
145	144	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
146		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
147		1cnd 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
148	146, 147	addcomd 7259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
149	147, 146	subnegd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 − -𝑘) = (1 + 𝑘))
150	148, 149	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
151	150	ad3antlr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
152		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑘 ∈ ℕ)
153	152	nnge1d 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ -𝑘)
154		1red 7134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
155	152	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑘 ∈ ℝ)
156	154, 155	suble0d 7636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((1 − -𝑘) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -𝑘))
157	153, 156	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (1 − -𝑘) ≤ 0)
158	151, 157	eqbrtrd 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
159	11	nnnn0d 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
160	159	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
161	160	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
162		mulle0r 8022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑘 + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 1) · 𝑁) ≤ 0)
163	145, 122, 158, 161, 162	syl22anc 1170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝑁) ≤ 0)
164	143, 163	eqbrtrd 3805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0)
165	138, 139, 164	lensymd 7231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
166	134, 165	pm2.21dd 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = 𝐽)
167		elz 8353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
168	167	simprbi 269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
169	168	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
170	91, 110, 166, 169	mpjao3dan 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) → 𝐼 = 𝐽)
171	170	ex 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
172	171	rexlimdva 2477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
173	68, 172	sylbird 168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ → 𝐼 = 𝐽))
174	65, 173	sylbid 148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
175	61, 174	sylbid 148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
176	54, 175	sylbid 148	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
177	37, 176	syl5 32	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
178	36, 177	sylbird 168	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
179	25, 178	sylbid 148	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
180		oveq1 5539	. . 3 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
181	180	oveq1d 5547	. 2 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
182	179, 181	impbid1 140	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ w3o 918   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279  -cneg 7280   / cdiv 7760  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ℚcq 8704  ℝ⁺crp 8734  ..^cfzo 9152   mod cmo 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325

This theorem is referenced by: (None)