Theorem faclbnd6 9671

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
2	1	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
4	3	fveq2d 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
5	2, 4	breq12d 3798	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
6	5	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))))
7		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
8	7	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
9		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
10	9	fveq2d 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
11	8, 10	breq12d 3798	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
12	11	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))))
13		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
15		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
16	15	fveq2d 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
17	14, 16	breq12d 3798	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
19		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
20	19	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
21		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
22	21	fveq2d 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
23	20, 22	breq12d 3798	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
24	23	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))))
25		faccl 9662	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnred 8052	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
27	26	leidd 7615	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
28		nn0cn 8298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
29		peano2cn 7243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31	30	exp0d 9599	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
32	31	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
33	25	nncnd 8053	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
34	33	mulid1d 7136	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
35	32, 34	eqtrd 2113	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
36	28	addid1d 7257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
37	36	fveq2d 5202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
38	27, 35, 37	3brtr4d 3815	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
39	26	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
40		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 8342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42		reexpcl 9493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
43	41, 42	sylan 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
44	39, 43	remulcld 7149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
45		nnnn0 8295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
46	45	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
48	47	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
49	41	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
50		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	40	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
52	51	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
53	49, 50, 52	expge0d 9623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 7721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
55	44, 54	jca 300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
56		nn0addcl 8323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
57		faccl 9662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 8052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
60		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
61		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
62	61	nn0red 8342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
63		readdcl 7099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
64	60, 62, 63	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
65	49, 52, 64	jca31 302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
66	55, 59, 65	jca31 302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
67	66	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
68		simpr 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))
69	36	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
70		nn0ge0 8313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
71	70	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
72		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
73	72	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
74	60	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
75		0re 7119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
76		leadd2 7535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
77	75, 76	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
78	73, 74, 77	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
79	71, 78	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
80	69, 79	eqbrtrrd 3807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
81	56	nn0red 8342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
82		1re 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
83		leadd1 7534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
84	82, 83	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
85	74, 81, 84	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
86	80, 85	mpbid 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
87		nn0cn 8298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
88		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
89		addass 7103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
90	88, 89	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
91	28, 87, 90	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
92	86, 91	breqtrd 3809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
93	92	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
94	68, 93	jca 300	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
95		lemul12a 7940	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
96	67, 94, 95	sylc 61	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
97		expp1 9483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
98	30, 97	sylan 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
99	98	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
100	33	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
101		expcl 9494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
102	30, 101	sylan 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
103	30	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
104	100, 102, 103	mulassd 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
105	99, 104	eqtr4d 2116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
106	105	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
107		facp1 9657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
109	91	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
110	91	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
112	111	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
113	96, 106, 112	3brtr4d 3815	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
114	113	ex 113	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
115	114	expcom 114	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
116	115	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 8461	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
118	117	impcom 123	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   ≤ cle 7154  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ↑cexp 9475  !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-fac 9653

This theorem is referenced by: (None)