Theorem nn0sinds 9430

Description: Strong (or "total") induction principle over the nonnegative integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0sinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0sinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0sinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
nn0sinds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nn0sinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 8656	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0sinds.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		nn0sinds.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		elnn0uz 8656	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
5		nn0sinds.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	sylbir 133	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
7	2, 3, 6	uzsinds 9428	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝜒)
8	1, 7	sylbi 119	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   − cmin 7279  ℕ₀cn0 8288  ℤ_≥cuz 8619  ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  10387