Theorem bezoutlemmain 10387

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezout.sub-gcd	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
bezout.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezout.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmain	⊢ (𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑠,𝑡,𝑧   𝑠,𝑟,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧,𝜃   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmain

Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbequ 1761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑟]𝜑))
2	1	anbi2d 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)))
3		sbequ 1761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜓))
4	3	anbi1d 452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
5	4	rexbidv 2369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
6	5	imbi2d 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
7	6	ralbidv 2368	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
8	2, 7	imbi12d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))))
9		sbequ 1761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑥 / 𝑟]𝜑))
10	9	anbi2d 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑)))
11		sbequ12r 1695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜓))
12	11	anbi1d 452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ (𝜓 ∧ 𝜑)))
13	12	rexbidv 2369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑)))
14	13	imbi2d 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑))))
15	14	ralbidv 2368	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑))))
16	10, 15	imbi12d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑)))))
17		nfv 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑤 ∈ ℕ0
18		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(0...(𝑤 − 1))
19		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
20		nfra1 2397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
21	19, 20	nfim 1504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
22	18, 21	nfralxy 2402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
23	17, 22	nfan 1497	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
24		nfv 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
25	23, 24	nfan 1497	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
26		nfv 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑤 = 0
27	25, 26	nfan 1497	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0)
28		simplr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))
30		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ 𝑧 ∥ 𝑦))
31	30	imbi1d 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
32	31	ralbidv 2368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
33	29, 32	sbie 1714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
34		nn0z 8371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℤ)
35		dvds0 10210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∥ 0)
37	36	biantrurd 299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑦 ↔ (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
38	37	biimpd 142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
39	33, 38	mprgbir 2421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ [𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))
40		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑤 = 0
41		dfsbcq2 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 0 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [0 / 𝑥]𝜓))
42		bezout.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
43	42	sbcbii 2873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([0 / 𝑥]𝜓 ↔ [0 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
44		c0ex 7113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
45		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ 0))
46	45	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
47	46	imbi2d 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
48	47	ralbidv 2368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
49	44, 48	sbcie 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([0 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
50	43, 49	bitri 182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([0 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
51	41, 50	syl6bb 194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 0 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
52	40, 51	sbbid 1767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 0 → ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
53	39, 52	mpbiri 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 0 → [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓)
54	53	ad3antlr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓)
55		simpr 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
56		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑟[𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓
57		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑟[𝑦 / 𝑟]𝜑
58	56, 57	nfan 1497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
59		sbequ12 1694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓))
60		sbequ12 1694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑟]𝜑))
61	59, 60	anbi12d 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)))
62	58, 61	rspce 2696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
63	28, 54, 55, 62	syl12anc 1167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
64	63	exp31 356	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
65	27, 64	ralrimi 2432	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
66		nfv 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦0 < 𝑤
67	25, 66	nfan 1497	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
68		bezout.is-bezout	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
69		simplrl 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝜃)
70		bezout.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝐴 ∈ ℕ0)
72	71	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝐴 ∈ ℕ0)
73		bezout.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
74	69, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝐵 ∈ ℕ0)
75	74	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76		simplll 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℕ0)
77		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 0 < 𝑤)
78		elnnnn0b 8332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ ↔ (𝑤 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑤))
79	76, 77, 78	sylanbrc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℕ)
80	79	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑤 ∈ ℕ)
81		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
82		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
83		simplrr 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
84		sbsbc 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
85	83, 84	sylib 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
86	85	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
87		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ 𝑎 ∥ 𝑟))
88		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑎 ∥ 𝑥))
89		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ∥ 𝑦 ↔ 𝑎 ∥ 𝑦))
90	88, 89	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑎 ∥ 𝑥 ∧ 𝑎 ∥ 𝑦)))
91	87, 90	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑎 ∥ 𝑟 → (𝑎 ∥ 𝑥 ∧ 𝑎 ∥ 𝑦))))
92	91	cbvralv 2577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎 ∥ 𝑟 → (𝑎 ∥ 𝑥 ∧ 𝑎 ∥ 𝑦)))
93	42, 92	bitri 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎 ∥ 𝑟 → (𝑎 ∥ 𝑥 ∧ 𝑎 ∥ 𝑦)))
94	69	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝜃)
95		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑)
96	94, 95	jca 300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑))
97	83	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
98		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
99	98	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℤ)
100	79	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑤 ∈ ℕ)
101		zmodfz 9348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)))
102	99, 100, 101	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)))
103		simpll 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤))
104		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
105	104	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
106		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑦[𝑤 / 𝑟]𝜑
107		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑦ℕ0
108		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑦[𝑤 / 𝑦]𝜓
109	108	nfsbxy 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑦[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓
110		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
111	109, 110	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑦([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)
112	107, 111	nfrexxy 2403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)
113	106, 112	nfim 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
114		sbequ 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
115		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝑤
116		sbequ12 1694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ [𝑤 / 𝑦]𝜓))
117	115, 116	sbbid 1767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓))
118	117	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))
119	118	rexbidv 2369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))
120	114, 119	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))))
121	113, 120	rspc 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))))
122	121	imim2d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))) → ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))))
123	122	ralimdv 2430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))))
124	123	ad4antr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))))
125	105, 124	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))))
126	103, 125	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))))
127		dfsbcq2 2818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ([𝑧 / 𝑟]𝜑 ↔ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑))
128	127	anbi2d 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑)))
129		sbsbc 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
130		sbsbc 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ([𝑤 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑤 / 𝑦]𝜓)
131	130	sbcbii 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
132	129, 131	bitri 182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
133	132	anbi1i 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
134		dfsbcq 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ↔ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓))
135	134	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))
136	133, 135	syl5bb 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))
137	136	rexbidv 2369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))
138	137	imbi2d 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))))
139	128, 138	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))))
140	139	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)) → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))) → ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)))))
141	102, 126, 140	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))))
142	96, 97, 141	mp2d 46	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
143		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ℕ0
144		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(0...(𝑤 − 1))
145		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
146		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ0
147		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
148	147	nfsbxy 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑦 / 𝑟]𝜑
149		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜓
150	149, 147	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)
151	146, 150	nfrexxy 2403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)
152	148, 151	nfim 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
153	146, 152	nfralxy 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
154	145, 153	nfim 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
155	144, 154	nfralxy 2402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
156	143, 155	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
157		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
158	156, 157	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
159		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0 < 𝑤
160	158, 159	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
161		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℕ0
162	160, 161	nfan 1497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)
163	162, 148	nfan 1497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
164		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑤 ∈ ℕ0
165		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑟(0...(𝑤 − 1))
166		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑟𝜃
167		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑟[𝑧 / 𝑟]𝜑
168	166, 167	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑟(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
169		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑟ℕ0
170		nfre1 2407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑟∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)
171	57, 170	nfim 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑟([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
172	169, 171	nfralxy 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
173	168, 172	nfim 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
174	165, 173	nfralxy 2402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
175	164, 174	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
176		nfs1v 1856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑟[𝑤 / 𝑟]𝜑
177	166, 176	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑟(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
178	175, 177	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑟((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
179		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑟0 < 𝑤
180	178, 179	nfan 1497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑟(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
181		nfv 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑦 ∈ ℕ0
182	180, 181	nfan 1497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑟((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)
183	182, 57	nfan 1497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟(((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
184	68, 72, 75, 80, 81, 82, 86, 93, 142, 163, 183	bezoutlemstep 10386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
185	184	exp31 356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
186	67, 185	ralrimi 2432	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
187		sbsbc 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑤 / 𝑥]𝜓)
188	187	anbi1i 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
189	188	rexbii 2373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
190	189	imbi2i 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
191	190	ralbii 2372	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
192	186, 191	sylibr 132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
193		nn0nlt0 8314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑤 < 0)
194		nn0z 8371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → 𝑤 ∈ ℤ)
195		ztri3or0 8393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
196	194, 195	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
197		3orass 922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤) ↔ (𝑤 < 0 ∨ (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤)))
198	196, 197	sylib 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 < 0 ∨ (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤)))
199	198	orcomd 680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → ((𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤) ∨ 𝑤 < 0))
200	193, 199	ecased 1280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
201	200	ad2antrr 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) → (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
202	65, 192, 201	mpjaodan 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
203	202	exp31 356	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))) → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))))
204	8, 16, 203	nn0sinds 9430	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑))))
205	204	expd 254	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝜃 → ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑)))))
206	205	impcom 123	. 2 ⊢ ((𝜃 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑))))
207	206	ralrimiva 2434	1 ⊢ (𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ 𝜑))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∨ w3o 918   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  [wsb 1685  ∀wral 2348  ∃wrex 2349  [wsbc 2815   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   − cmin 7279  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ...cfz 9029   mod cmo 9324   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  10390