Theorem numsucc 8516

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
numsucc.2	⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
numsucc.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numsucc.4	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
numsucc.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
numsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑌 + 1)
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ ℕ0
3		1nn0 8304	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0addcli 8325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 + 1) ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2151	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 8300	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7121	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
8	7	oveq2i 5543	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
9		numsucc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 8300	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11		ax-1cn 7069	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	6, 10, 11	adddii 7129	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
13	1	eqcomi 2085	. . . 4 ⊢ (𝑌 + 1) = 𝑇
14		numsucc.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑌)
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 8490	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2112	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = (𝑇 · (𝐴 + 1))
17		numsucc.4	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
18	17	oveq2i 5543	. 2 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = (𝑇 · 𝐵)
19	9, 3	nn0addcli 8325	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
20	17, 19	eqeltrri 2152	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	5, 20	num0u 8487	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)
22	16, 18, 21	3eqtri 2105	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑇 · 𝐵) + 0)

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  ℕ₀cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  decsucc  8517