Theorem peano5uzti 8455

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑛))
2	1	elrab 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛))
3	2	anbi2i 444	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)))
4		zcn 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	ad2antrl 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
6		zcn 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 7135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	subcld 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		npcan 7317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
10	5, 8, 9	syl2an 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		subsub 7338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
13	11, 12	mp3an3 1257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
14	5, 6, 13	syl2an 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
15		znn0sub 8416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16	15	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
17	16	anasss 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	adantll 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
20		nn0p1nn 8327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
22	14, 21	eqeltrd 2155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
23		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simpll 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
25		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
26	25	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
27	26	imbi2d 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
28	27	imbi2d 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
29		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
30	29	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
31	30	imbi2d 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32	31	imbi2d 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
33		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
34	33	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
35	34	imbi2d 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
36	35	imbi2d 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
37		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
38	37	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
39	38	imbi2d 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
40	39	imbi2d 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
41		1cnd 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
42	6	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	41, 42	pncan3d 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44		simprl 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ 𝐴)
45	43, 44	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
46	45	ex 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
47		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
48	47	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
49	48	rspccv 2698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
50	49	ad2antll 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
51		simpll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
52	51	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	8	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
54		1cnd 7135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	add32d 7276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
56	55	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
57	50, 56	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
58	57	ex 113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
60	59	ex 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
63	22, 23, 24, 62	syl3c 62	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
64	10, 63	eqeltrrd 2156	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
65	3, 64	sylanb 278	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
66	65	expcom 114	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) → 𝑛 ∈ 𝐴))
67	66	expdimp 255	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} → 𝑛 ∈ 𝐴))
68	67	ssrdv 3005	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
69	68	ex 113	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  {crab 2352   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   + caddc 6984   ≤ cle 7154   − cmin 7279  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  peano5uzi  8456  uzind  8458