Theorem rereim 7686

Description: Decomposition of a real number into real part (itself) and imaginary part (zero). (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rereim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 0))

Proof of Theorem rereim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simplr 496	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))
6	5	eqcomd 2086	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 + (i · 𝐶)) = 𝐴)
7		ax-icn 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → i ∈ ℂ)
9		simprl 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 7139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℂ)
12	2, 4, 11	subaddd 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → ((𝐴 − 𝐵) = (i · 𝐶) ↔ (𝐵 + (i · 𝐶)) = 𝐴))
13	6, 12	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (i · 𝐶))
14	1, 3	resubcld 7485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrd 2156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℝ)
16		rimul 7685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐶) ∈ ℝ) → 𝐶 = 0)
17	9, 15, 16	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 = 0)
18	17	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = (i · 0))
19	7	mul01i 7495	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
20	18, 19	syl6eq 2129	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = 0)
21	13, 20	eqtrd 2113	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = 0)
22	2, 4, 21	subeq0d 7427	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 = 𝐵)
23	22	eqcomd 2086	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 = 𝐴)
24	23, 17	jca 300	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  ici 6983   + caddc 6984   · cmul 6986   − cmin 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675

This theorem is referenced by:  apreap  7687