Theorem rexsupp 5312

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 5307	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2		funfvex 5212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
3	2	funfni 5019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	biantrurd 299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
5		eldifsn 3517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
6	4, 5	syl6rbbr 197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
7	6	pm5.32da 439	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	1, 7	bitrd 186	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	anbi1d 452	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10		anass 393	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	syl6bb 194	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
12	11	rexbidv2 2371	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∃wrex 2349  Vcvv 2601   ∖ cdif 2970  {csn 3398  ^◡ccnv 4362   “ cima 4366   Fn wfn 4917  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)