Theorem snnen2oprc 6346

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a set, see snnen2og 6345. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6033	. . 3 ⊢ 2𝑜 ≠ ∅
2		ensymb 6283	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≈ ∅)
3		en0 6298	. . . 4 ⊢ (2𝑜 ≈ ∅ ↔ 2𝑜 = ∅)
4	2, 3	bitri 182	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 = ∅)
5	1, 4	nemtbir 2334	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2𝑜
6		snprc 3457	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7	6	biimpi 118	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
8	7	breq1d 3795	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2𝑜 ↔ ∅ ≈ 2𝑜))
9	5, 8	mtbiri 632	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  ∅c0 3251  {csn 3398   class class class wbr 3785  2_𝑜c2o 6018   ≈ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245

This theorem is referenced by: (None)