Theorem uz11 8641

Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uz11	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 8633	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eleq2 2142	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
3		eluzel2 8624	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl6bi 161	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
5	1, 4	mpan9 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 8633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eleq2 2142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
8	6, 7	syl5ibr 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9		eluzle 8631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑁))
11	1, 2	syl5ib 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
12		eluzle 8631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑀))
14	10, 13	anim12d 328	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
15	14	impl 372	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	15	ancoms 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
17	16	anassrs 392	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
18		zre 8355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		zre 8355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letri3 7192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21	18, 19, 20	syl2an 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	21	adantlr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	17, 22	mpbird 165	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
24	5, 23	mpdan 412	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
25	24	ex 113	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26		fveq2 5198	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁))
27	25, 26	impbid1 140	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  ℝcr 6980   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-apti 7091

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  fzopth  9079