Theorem eluzel2 8624

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 8622	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5069	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5226	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5071	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	syl6eleq 2171	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433  𝒫 cpw 3382  dom cdm 4363  Rel wrel 4368  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  eluz2  8625  uztrn  8635  uzneg  8637  uzss  8639  uz11  8641  eluzadd  8647  uzm1  8649  uzin  8651  uzind4  8676  elfz5  9037  elfzel1  9044  eluzfz1  9050  fzsplit2  9069  fzopth  9079  fzpred  9087  fzpreddisj  9088  fzdifsuc  9098  uzsplit  9109  uzdisj  9110  elfzp12  9116  fzm1  9117  uznfz  9120  nn0disj  9148  fzolb  9162  fzoss2  9181  fzouzdisj  9189  ige2m2fzo  9207  elfzonelfzo  9239  frec2uzrand  9407  frecfzen2  9420  iseqcl  9443  iseqp1  9445  iseqfeq2  9449  iseqfveq  9450  iseqshft2  9452  iseqsplit  9458  iseqcaopr3  9460  iseqid3s  9466  iseqid  9467  iseqhomo  9468  iseqz  9469  serige0  9473  serile  9474  leexp2a  9529  rexanuz2  9877  cau4  10002  clim2iser  10175  clim2iser2  10176  climserile  10183