Theorem uzid 8633

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8355	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 7615	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 316	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 8623	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 165	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  uzn0  8634  uz11  8641  eluzfz1  9050  eluzfz2  9051  elfz3  9053  elfz1end  9074  fzssp1  9085  fzpred  9087  fzp1ss  9090  fzpr  9094  fztp  9095  elfz0add  9134  fzolb  9162  zpnn0elfzo  9216  fzosplitsnm1  9218  fzofzp1  9236  fzosplitsn  9242  fzostep1  9246  frec2uzuzd  9404  frecuzrdgrrn  9410  frec2uzrdg  9411  frecuzrdgrom  9412  uzsinds  9428  iseqfn  9441  iseq1  9442  iseqcl  9443  iseqp1  9445  iseqfveq  9450  iseq1p  9459  iseqcaopr3  9460  iseqhomo  9468  faclbnd3  9670  bcm1k  9687  bcn2  9691  rexuz3  9876  r19.2uz  9879  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemgt0  9906  resqrexlemoverl  9907  cau3lem  10000  caubnd2  10003  climconst  10129  climuni  10132  climcau  10184  serif0  10189  zsupcllemstep  10341  zsupcllemex  10342  ialgr0  10426  eucialg  10441  pw2dvds  10544