Theorem zdivmul 8437

Description: Property of divisibility: if 𝐷 divides 𝐴 then it divides 𝐵 · 𝐴. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdivmul	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zdivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8356	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		zcn 8356	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 959	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		nncn 8047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
6		nnap0 8068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 # 0)
7	5, 6	jca 300	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
8	7	3ad2ant3 961	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
9		divassap 7778	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
10	2, 4, 8, 9	syl3anc 1169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
11	10	3comr 1146	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
12	11	adantr 270	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)))
13		zmulcl 8404	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14	13	3ad2antl3 1102	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
15	12, 14	eqeltrd 2155	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐷) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981   · cmul 6986   # cap 7681   / cdiv 7760  ℕcn 8039  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by: (None)