Theorem ztri3or0 8393

Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 8353	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simprbi 269	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		idd 21	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4		nngt0 8064	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6		nngt0 8064	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7		zre 8355	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	lt0neg1d 7616	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
9	6, 8	syl5ibr 154	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
10	3, 5, 9	3orim123d 1251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
11	2, 10	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
12		3orrot 925	. 2 ⊢ ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
13	11, 12	sylibr 132	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 918   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ℝcr 6980  0cc0 6981   < clt 7153  -cneg 7280  ℕcn 8039  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-z 8352

This theorem is referenced by:  ztri3or  8394  zdvdsdc  10216  divalglemex  10322  divalg  10324  bezoutlemmain  10387