Theorem divalglemex 10322

Description: Lemma for divalg 10324. The quotient and remainder exist. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemex	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 941	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 942	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	znegcld 8471	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℤ)
4		simpr 108	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 < 0)
5	2	zred 8469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 7616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
7	4, 6	mpbid 145	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 0 < -𝐷)
8		elnnz 8361	. . . . 5 ⊢ (-𝐷 ∈ ℕ ↔ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐷))
9	3, 7, 8	sylanbrc 408	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℕ)
10		divalglemnn 10318	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
11	1, 9, 10	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
12		simplr 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12	znegcld 8471	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → -𝑘 ∈ ℤ)
14		simpr1 944	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 0 ≤ 𝑟)
15		simpr2 945	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘-𝐷))
16		simpll2 978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18	absnegd 10075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
20	15, 19	breqtrd 3809	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
21		simpr3 946	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
22	12	zcnd 8470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		mulneg12 7501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
24	22, 18, 23	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
25	24	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
26	21, 25	eqtr4d 2116	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
27		oveq1 5539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑞 · 𝐷) = (-𝑘 · 𝐷))
28	27	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟)))
30	29	3anbi3d 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))))
31	30	rspcev 2701	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑘 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
32	13, 14, 20, 26, 31	syl13anc 1171	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
33	32	ex 113	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
34	33	rexlimdva 2477	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
35	34	reximdva 2463	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
36	11, 35	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
37		simpr 108	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 = 0)
38		simpl3 943	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 ≠ 0)
39	37, 38	pm2.21ddne 2328	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
40		simpl1 941	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simpl2 942	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
42		simpr 108	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 0 < 𝐷)
43		elnnz 8361	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐷))
44	41, 42, 43	sylanbrc 408	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
45		divalglemnn 10318	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
46	40, 44, 45	syl2anc 403	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
47		ztri3or0 8393	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
48	47	3ad2ant2 960	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
49	36, 39, 46, 48	mpjao3dan 1238	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ w3o 918   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154  -cneg 7280  ℕcn 8039  ℤcz 8351  abscabs 9883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885

This theorem is referenced by:  divalglemeuneg  10323