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Theorem acndom 8874
Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom |- ( A ~<_ B -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) )
Proof of Theorem acndom
Dummy variables f g h k x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7966 . 2 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2 neq0 3930 . . . . 5 |- ( -. A = (/) <-> E. x x e. A )
3 simpl3 1066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> X e. AC B )
4 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) -> g : A --> ( ~P X \ { (/) } ) )
54ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) -> g : A --> ( ~P X \ { (/) } ) )
6 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) -> f : A -1-1-> B )
7 f1f1orn 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A -1-1-onto-> ran f )
8 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> ran f -> `' f : ran f -1-1-onto-> A )
9 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' f : ran f -1-1-onto-> A -> `' f : ran f --> A )
106, 7, 8, 94syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) -> `' f : ran f --> A )
1110ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) /\ y e. ran f ) -> ( `' f ` y ) e. A )
12 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> x e. A )
1312ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) /\ -. y e. ran f ) -> x e. A )
1411, 13ifclda 4120 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) -> if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) e. A )
155, 14ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) -> ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) e. ( ~P X \ { (/) } ) )
16 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) e. ( ~P X \ { (/) } ) <-> ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) e. ~P X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) )
17 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) e. ~P X -> ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) C_ X )
1817anim1i 592 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) e. ~P X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) -> ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) C_ X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) )
1916, 18sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) e. ( ~P X \ { (/) } ) -> ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) C_ X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) )
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ y e. B ) -> ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) C_ X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) )
2120ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> A. y e. B ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) C_ X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) )
22 acni2 8869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. AC B /\ A. y e. B ( ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) C_ X /\ ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) =/= (/) ) ) -> E. k ( k : B --> X /\ A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) )
233, 21, 22syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. k ( k : B --> X /\ A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) )
24 f1dm 6105 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-> B -> dom f = A )
25 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
2625dmex 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom f e. _V
2724, 26syl6eqelr 2710 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
28273ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) -> A e. _V )
2928ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : B --> X /\ A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) ) -> A e. _V )
30 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> f : A -1-1-> B )
31 f1f 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
32 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A --> B -> ran f C_ B )
33 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran f C_ B -> ( A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) -> A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) )
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> ( A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) -> A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) )
35 iftrue 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ran f -> if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) = ( `' f ` y ) )
3635fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ran f -> ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) = ( g ` ( `' f ` y ) ) )
3736eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ran f -> ( ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) <-> ( k ` y ) e. ( g ` ( `' f ` y ) ) ) )
3837ralbiia 2979 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) <-> A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` ( `' f ` y ) ) )
3934, 38syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> ( A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) -> A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` ( `' f ` y ) ) ) )
40 f1fn 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A -1-1-> B -> f Fn A )
41 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( f ` z ) -> ( k ` y ) = ( k ` ( f ` z ) ) )
42 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( f ` z ) -> ( `' f ` y ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) )
4342fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( f ` z ) -> ( g ` ( `' f ` y ) ) = ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) )
4441, 43eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( f ` z ) -> ( ( k ` y ) e. ( g ` ( `' f ` y ) ) <-> ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) ) )
4544ralrn 6362 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn A -> ( A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` ( `' f ` y ) ) <-> A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) ) )
4630, 40, 453syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> ( A. y e. ran f ( k ` y ) e. ( g ` ( `' f ` y ) ) <-> A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) ) )
4739, 46sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> ( A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) -> A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) ) )
4830, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> f : A -1-1-onto-> ran f )
49 f1ocnvfv1 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> ran f /\ z e. A ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
5048, 49sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) /\ z e. A ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
5150fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) /\ z e. A ) -> ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) = ( g ` z ) )
5251eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) /\ z e. A ) -> ( ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) <-> ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` z ) ) )
5352ralbidva 2985 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> ( A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` ( `' f ` ( f ` z ) ) ) <-> A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` z ) ) )
5447, 53sylibd 229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : B --> X ) -> ( A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) -> A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` z ) ) )
5554impr 649 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : B --> X /\ A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) ) -> A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` z ) )
56 acnlem 8871 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ A. z e. A ( k ` ( f ` z ) ) e. ( g ` z ) ) -> E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) )
5729, 55, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : B --> X /\ A. y e. B ( k ` y ) e. ( g ` if ( y e. ran f , ( `' f ` y ) , x ) ) ) ) -> E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) )
5823, 57exlimddv 1863 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) )
5958ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) -> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) )
60 elex 3212 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. AC B -> X e. _V )
61 isacn 8867 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ A e. _V ) -> ( X e. AC A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) ) )
6260, 27, 61syl2anr 495 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ X e. AC B ) -> ( X e. AC A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) ) )
63623adant2 1080 . . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) -> ( X e. AC A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. z e. A ( h ` z ) e. ( g ` z ) ) )
6459, 63mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x e. A /\ X e. AC B ) -> X e. AC A )
65643exp 1264 . . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> ( x e. A -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) ) )
6665exlimdv 1861 . . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> ( E. x x e. A -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) ) )
672, 66syl5bi 232 . . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( -. A = (/) -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) ) )
68 acneq 8866 . . . . . . 7 |- ( A = (/) -> AC A = AC (/) )
69 0fin 8188 . . . . . . . 8 |- (/) e. Fin
70 finacn 8873 . . . . . . . 8 |- ( (/) e. Fin -> AC (/) = _V )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7 |- AC (/) = _V
7268, 71syl6eq 2672 . . . . . 6 |- ( A = (/) -> AC A = _V )
7372eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( A = (/) -> ( X e. AC A <-> X e. _V ) )
7460, 73syl5ibr 236 . . . 4 |- ( A = (/) -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) )
7567, 74pm2.61d2 172 . . 3 |- ( f : A -1-1-> B -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) )
7675exlimiv 1858 . 2 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) )
771, 76syl 17 1 |- ( A ~<_ B -> ( X e. AC B -> X e. AC A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955  AC wacn 8764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-acn 8768
This theorem is referenced by:  acnnum  8875  acnen  8876  iunctb  9396
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