Theorem dfacacn 8963

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacacn	|- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Proof of Theorem dfacacn

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
2		acacni 8962	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ x e. _V ) -> AC x = _V )
3	1, 2	mpan2 707	. . 3 |- (CHOICE -> AC x = _V )
4	3	alrimiv 1855	. 2 |- (CHOICE -> A. xAC x = _V )
5		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
6		difexg 4808	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y \ { (/) } ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y \ { (/) } ) e. _V
8		acneq 8866	. . . . . . 7 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> AC x = AC ( y \ { (/) } ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( x = ( y \ { (/) } ) -> (AC x = _V <-> AC ( y \ { (/) } ) = _V ) )
10	7, 9	spcv 3299	. . . . 5 |- ( A. xAC x = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
11		vuniex 6954	. . . . . . 7 |- U. y e. _V
12		id 22	. . . . . . 7 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> AC ( y \ { (/) } ) = _V )
13	11, 12	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> U. y e. AC ( y \ { (/) } ) )
14		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z e. y )
15		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z C_ U. y )
17		eldifsni 4320	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
18	16, 17	jca 554	. . . . . . 7 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) )
19	18	rgen 2922	. . . . . 6 |- A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) )
20		acni2 8869	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. AC ( y \ { (/) } ) /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( z C_ U. y /\ z =/= (/) ) ) -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
21	13, 19, 20	sylancl 694	. . . . 5 |- (AC ( y \ { (/) } ) = _V -> E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) )
22	5	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V
23		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z )
24		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) <-> ( z e. y /\ z =/= (/) ) )
25	24	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g ` x ) = ( g ` z ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) = ( x e. y |-> ( g ` x ) )
28		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g ` z ) e. _V
29	26, 27, 28	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. y -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
30	14, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z <-> ( g ` z ) e. z ) )
32	31	pm5.74i 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) )
33		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ z =/= (/) ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
34	25, 32, 33	3bitr3i 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( y \ { (/) } ) -> ( g ` z ) e. z ) <-> ( z e. y -> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
35	34	ralbii2 2978	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
36	23, 35	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
37		fvrn0 6216	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
38	37	rgenw 2924	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } )
39	27	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( g ` x ) e. ( ran g u. { (/) } ) <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } )
41		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) : y --> ( ran g u. { (/) } ) -> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y
43	36, 42	jctil 560	. . . . . . 7 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
44		fneq1 5979	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f Fn y <-> ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y ) )
45		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( f ` z ) = ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) )
47	46	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) )
49	44, 48	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. y |-> ( g ` x ) ) -> ( ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) ) )
50	49	spcegv 3294	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) e. _V -> ( ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( ( x e. y |-> ( g ` x ) ) ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
51	22, 43, 50	mpsyl 68	. . . . . 6 |- ( ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
52	51	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. g ( g : ( y \ { (/) } ) --> U. y /\ A. z e. ( y \ { (/) } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	10, 21, 52	3syl 18	. . . 4 |- ( A. xAC x = _V -> E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
54	53	alrimiv 1855	. . 3 |- ( A. xAC x = _V -> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
55		dfac4 8945	. . 3 |- (CHOICE <-> A. y E. f ( f Fn y /\ A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
56	54, 55	sylibr 224	. 2 |- ( A. xAC x = _V -> CHOICE )
57	4, 56	impbii 199	1 |- (CHOICE <-> A. xAC x = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  AC wacn 8764  CHOICEwac 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  dfac13  8964