Theorem isacn 8867

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacn	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, A   f, X, g, x

Allowed substitution hints:   V( x, f, g)   W( x, f, g)

Proof of Theorem isacn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ~P y = ~P X )
2	1	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( ~P y \ { (/) } ) = ( ~P X \ { (/) } ) )
3	2	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = X -> ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) = ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) )
4	3	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( y = X -> ( A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
5	4	anbi2d 740	. . 3 |- ( y = X -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
6		df-acn 8768	. . 3 |- AC A = { y | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) }
7	5, 6	elab2g 3353	. 2 |- ( X e. V -> ( X e. AC A <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
8		elex 3212	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
9		biid 251	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
10	9	baib 944	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
11	8, 10	syl 17	. 2 |- ( A e. W -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
12	7, 11	sylan9bb 736	1 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  acni  8868  numacn  8872  finacn  8873  acndom  8874  acndom2  8877  acncc  9262