Theorem bnj1379 30901

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1379.1	|- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
bnj1379.2	|- D = ( dom f i^i dom g )
bnj1379.3	|- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
bnj1379.5	|- ( ch <-> ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) )
bnj1379.6	|- ( th <-> ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
bnj1379.7	|- ( ta <-> ( th /\ g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1379	|- ( ps -> Fun U. A )

Distinct variable groups:   A, f, g, x, y, z   x, D   ph, g   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, f)   ps( f, g)   ch( x, y, z, f, g)   th( x, y, z, f, g)   ta( x, y, z, f, g)   D( y, z, f, g)

Proof of Theorem bnj1379

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1379.3	. . . . 5 |- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
2		bnj1379.1	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
3	2	bnj1095 30852	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f ph )
4	3	nf5i 2024	. . . . . 6 |- F/ f ph
5		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ f A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D )
6	4, 5	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ f ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
7	1, 6	nfxfr 1779	. . . 4 |- F/ f ps
8	2	bnj946 30845	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
9	8	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
10	9	19.21bi 2059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> Fun f ) )
11	1, 10	bnj832 30828	. . . . 5 |- ( ps -> ( f e. A -> Fun f ) )
12		funrel 5905	. . . . 5 |- ( Fun f -> Rel f )
13	11, 12	syl6 35	. . . 4 |- ( ps -> ( f e. A -> Rel f ) )
14	7, 13	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ps -> A. f e. A Rel f )
15		reluni 5241	. . 3 |- ( Rel U. A <-> A. f e. A Rel f )
16	14, 15	sylibr 224	. 2 |- ( ps -> Rel U. A )
17		bnj1379.5	. . . . . 6 |- ( ch <-> ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) )
18		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , y >. e. U. A <-> E. f e. A <. x , y >. e. f )
19	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. U. A -> E. f e. A <. x , y >. e. f )
20	19	bnj1196 30865	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. U. A -> E. f ( f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
21	17, 20	bnj836 30830	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> E. f ( f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
22		bnj1379.6	. . . . . . . . 9 |- ( th <-> ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f <. x , y >. e. U. A
24		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f <. x , z >. e. U. A
25	7, 23, 24	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A )
26	17, 25	nfxfr 1779	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ch
27	26	nf5ri 2065	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> A. f ch )
28	21, 22, 27	bnj1345 30895	. . . . . . . 8 |- ( ch -> E. f th )
29	17	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> <. x , z >. e. U. A )
30	22, 29	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> <. x , z >. e. U. A )
31		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , z >. e. U. A <-> E. g e. A <. x , z >. e. g )
32	31	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , z >. e. U. A -> E. g e. A <. x , z >. e. g )
33	32	bnj1196 30865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , z >. e. U. A -> E. g ( g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> E. g ( g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
35		bnj1379.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta <-> ( th /\ g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g ph
37		nfra2 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D )
38	36, 37	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ g ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
39	1, 38	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g ps
40		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g <. x , y >. e. U. A
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g <. x , z >. e. U. A
42	39, 40, 41	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ g ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A )
43	17, 42	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g ch
44		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g f e. A
45		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g <. x , y >. e. f
46	43, 44, 45	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f )
47	22, 46	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g th
48	47	nf5ri 2065	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. g th )
49	34, 35, 48	bnj1345 30895	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> E. g ta )
50	1	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ps -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
51	17, 50	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
52	22, 51	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
53	35, 52	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
54	22, 35	bnj1219 30871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> f e. A )
55	53, 54	bnj1294 30888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
56	35	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> g e. A )
57	55, 56	bnj1294 30888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> ( f |` D ) = ( g |` D ) )
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( ( g |` D ) ` x ) )
59	22	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> <. x , y >. e. f )
60	35, 59	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ta -> <. x , y >. e. f )
61		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
62		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
63	61, 62	opeldm 5328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , y >. e. f -> x e. dom f )
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> x e. dom f )
65		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
66	61, 65	opeldm 5328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , z >. e. g -> x e. dom g )
67	35, 66	bnj837 30831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> x e. dom g )
68	64, 67	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> x e. ( dom f i^i dom g ) )
69		bnj1379.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D = ( dom f i^i dom g )
70	68, 69	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> x e. D )
71		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( f ` x ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( f ` x ) )
73		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> ( ( g |` D ) ` x ) = ( g ` x ) )
74	70, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( g |` D ) ` x ) = ( g ` x ) )
75	58, 72, 74	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
76	2	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. f e. A Fun f )
77	1, 76	bnj832 30828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps -> A. f e. A Fun f )
78	17, 77	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. f e. A Fun f )
79	22, 78	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( th -> A. f e. A Fun f )
80	35, 79	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> A. f e. A Fun f )
81	80, 54	bnj1294 30888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> Fun f )
82		funopfv 6235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun f -> ( <. x , y >. e. f -> ( f ` x ) = y ) )
83	81, 60, 82	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( f ` x ) = y )
84		funeq 5908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( Fun f <-> Fun g ) )
85	84	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. f e. A Fun f <-> A. g e. A Fun g )
86	80, 85	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> A. g e. A Fun g )
87	86, 56	bnj1294 30888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> Fun g )
88	35	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> <. x , z >. e. g )
89		funopfv 6235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun g -> ( <. x , z >. e. g -> ( g ` x ) = z ) )
90	87, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( g ` x ) = z )
91	75, 83, 90	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> y = z )
92	49, 91	bnj593 30815	. . . . . . . . 9 |- ( th -> E. g y = z )
93	92	bnj937 30842	. . . . . . . 8 |- ( th -> y = z )
94	28, 93	bnj593 30815	. . . . . . 7 |- ( ch -> E. f y = z )
95	94	bnj937 30842	. . . . . 6 |- ( ch -> y = z )
96	17, 95	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z )
97	96	3expib 1268	. . . 4 |- ( ps -> ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
98	97	alrimivv 1856	. . 3 |- ( ps -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
99	98	alrimiv 1855	. 2 |- ( ps -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
100		dffun4 5900	. 2 |- ( Fun U. A <-> ( Rel U. A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) )
101	16, 99, 100	sylanbrc 698	1 |- ( ps -> Fun U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   <.cop 4183   U.cuni 4436   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  bnj1383  30902