Theorem brafs 30750

Description: Binary relation form of the outer five segment predicate. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
brafs.p	|- P = ( Base ` G )
brafs.d	|- .- = ( dist ` G )
brafs.i	|- I = (Itv ` G )
brafs.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
brafs.o	|- O = (AFS ` G )
brafs.1	|- ( ph -> A e. P )
brafs.2	|- ( ph -> B e. P )
brafs.3	|- ( ph -> C e. P )
brafs.4	|- ( ph -> D e. P )
brafs.5	|- ( ph -> X e. P )
brafs.6	|- ( ph -> Y e. P )
brafs.7	|- ( ph -> Z e. P )
brafs.8	|- ( ph -> W e. P )

Assertion

Ref	Expression
brafs	|- ( ph -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. O <. <. X , Y >. , <. Z , W >. >. <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I Z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- W ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- W ) ) ) ) )

Proof of Theorem brafs

Dummy variables a b c d e f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( a = A -> ( a I c ) = ( A I c ) )
2	1	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( a = A -> ( b e. ( a I c ) <-> b e. ( A I c ) ) )
3	2	anbi1d 741	. . 3 |- ( a = A -> ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) <-> ( b e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) ) )
4		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( a = A -> ( a .- b ) = ( A .- b ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( a .- b ) = ( x .- y ) <-> ( A .- b ) = ( x .- y ) ) )
6	5	anbi1d 741	. . 3 |- ( a = A -> ( ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) <-> ( ( A .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) ) )
7		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( a = A -> ( a .- d ) = ( A .- d ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( a .- d ) = ( x .- w ) <-> ( A .- d ) = ( x .- w ) ) )
9	8	anbi1d 741	. . 3 |- ( a = A -> ( ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) <-> ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) )
10	3, 6, 9	3anbi123d 1399	. 2 |- ( a = A -> ( ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( b e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) )
11		eleq1 2689	. . . 4 |- ( b = B -> ( b e. ( A I c ) <-> B e. ( A I c ) ) )
12	11	anbi1d 741	. . 3 |- ( b = B -> ( ( b e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) <-> ( B e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) ) )
13		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( b = B -> ( A .- b ) = ( A .- B ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( A .- b ) = ( x .- y ) <-> ( A .- B ) = ( x .- y ) ) )
15		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( b = B -> ( b .- c ) = ( B .- c ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( b .- c ) = ( y .- z ) <-> ( B .- c ) = ( y .- z ) ) )
17	14, 16	anbi12d 747	. . 3 |- ( b = B -> ( ( ( A .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- c ) = ( y .- z ) ) ) )
18		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( b = B -> ( b .- d ) = ( B .- d ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( b .- d ) = ( y .- w ) <-> ( B .- d ) = ( y .- w ) ) )
20	19	anbi2d 740	. . 3 |- ( b = B -> ( ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) <-> ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( B .- d ) = ( y .- w ) ) ) )
21	12, 17, 20	3anbi123d 1399	. 2 |- ( b = B -> ( ( ( b e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( B .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) )
22		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A I c ) = ( A I C ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( c = C -> ( B e. ( A I c ) <-> B e. ( A I C ) ) )
24	23	anbi1d 741	. . 3 |- ( c = C -> ( ( B e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) <-> ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( x I z ) ) ) )
25		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( c = C -> ( B .- c ) = ( B .- C ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( B .- c ) = ( y .- z ) <-> ( B .- C ) = ( y .- z ) ) )
27	26	anbi2d 740	. . 3 |- ( c = C -> ( ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- c ) = ( y .- z ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) ) )
28	24, 27	3anbi12d 1400	. 2 |- ( c = C -> ( ( ( B e. ( A I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( B .- d ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( B .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( d = D -> ( A .- d ) = ( A .- D ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( d = D -> ( ( A .- d ) = ( x .- w ) <-> ( A .- D ) = ( x .- w ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( d = D -> ( B .- d ) = ( B .- D ) )
32	31	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( d = D -> ( ( B .- d ) = ( y .- w ) <-> ( B .- D ) = ( y .- w ) ) )
33	30, 32	anbi12d 747	. . 3 |- ( d = D -> ( ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( B .- d ) = ( y .- w ) ) <-> ( ( A .- D ) = ( x .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) ) )
34	33	3anbi3d 1405	. 2 |- ( d = D -> ( ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- d ) = ( x .- w ) /\ ( B .- d ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( x .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) ) ) )
35		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x I z ) = ( X I z ) )
36	35	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = X -> ( y e. ( x I z ) <-> y e. ( X I z ) ) )
37	36	anbi2d 740	. . 3 |- ( x = X -> ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( x I z ) ) <-> ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( X I z ) ) ) )
38		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x .- y ) = ( X .- y ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( A .- B ) = ( x .- y ) <-> ( A .- B ) = ( X .- y ) ) )
40	39	anbi1d 741	. . 3 |- ( x = X -> ( ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( X .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) ) )
41		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x .- w ) = ( X .- w ) )
42	41	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( A .- D ) = ( x .- w ) <-> ( A .- D ) = ( X .- w ) ) )
43	42	anbi1d 741	. . 3 |- ( x = X -> ( ( ( A .- D ) = ( x .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) <-> ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) ) )
44	37, 40, 43	3anbi123d 1399	. 2 |- ( x = X -> ( ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( x .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( x .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( X I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) ) ) )
45		eleq1 2689	. . . 4 |- ( y = Y -> ( y e. ( X I z ) <-> Y e. ( X I z ) ) )
46	45	anbi2d 740	. . 3 |- ( y = Y -> ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( X I z ) ) <-> ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I z ) ) ) )
47		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( X .- y ) = ( X .- Y ) )
48	47	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( A .- B ) = ( X .- y ) <-> ( A .- B ) = ( X .- Y ) ) )
49		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( y .- z ) = ( Y .- z ) )
50	49	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( B .- C ) = ( y .- z ) <-> ( B .- C ) = ( Y .- z ) ) )
51	48, 50	anbi12d 747	. . 3 |- ( y = Y -> ( ( ( A .- B ) = ( X .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- z ) ) ) )
52		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( y .- w ) = ( Y .- w ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( B .- D ) = ( y .- w ) <-> ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) )
54	53	anbi2d 740	. . 3 |- ( y = Y -> ( ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) <-> ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) ) )
55	46, 51, 54	3anbi123d 1399	. 2 |- ( y = Y -> ( ( ( B e. ( A I C ) /\ y e. ( X I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- y ) /\ ( B .- C ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) ) ) )
56		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( X I z ) = ( X I Z ) )
57	56	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( z = Z -> ( Y e. ( X I z ) <-> Y e. ( X I Z ) ) )
58	57	anbi2d 740	. . 3 |- ( z = Z -> ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I z ) ) <-> ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I Z ) ) ) )
59		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( Y .- z ) = ( Y .- Z ) )
60	59	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( z = Z -> ( ( B .- C ) = ( Y .- z ) <-> ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) )
61	60	anbi2d 740	. . 3 |- ( z = Z -> ( ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- z ) ) <-> ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) ) )
62	58, 61	3anbi12d 1400	. 2 |- ( z = Z -> ( ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I Z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) ) ) )
63		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( w = W -> ( X .- w ) = ( X .- W ) )
64	63	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( A .- D ) = ( X .- w ) <-> ( A .- D ) = ( X .- W ) ) )
65		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( w = W -> ( Y .- w ) = ( Y .- W ) )
66	65	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( B .- D ) = ( Y .- w ) <-> ( B .- D ) = ( Y .- W ) ) )
67	64, 66	anbi12d 747	. . 3 |- ( w = W -> ( ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) <-> ( ( A .- D ) = ( X .- W ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- W ) ) ) )
68	67	3anbi3d 1405	. 2 |- ( w = W -> ( ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I Z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- w ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- w ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I Z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- W ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- W ) ) ) ) )
69		brafs.o	. . 3 |- O = (AFS ` G )
70		brafs.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
71		brafs.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
72		brafs.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
73		brafs.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. TarskiG )
74	70, 71, 72, 73	afsval 30749	. . 3 |- ( ph -> (AFS ` G ) = { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } )
75	69, 74	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> O = { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } )
76		brafs.1	. 2 |- ( ph -> A e. P )
77		brafs.2	. 2 |- ( ph -> B e. P )
78		brafs.3	. 2 |- ( ph -> C e. P )
79		brafs.4	. 2 |- ( ph -> D e. P )
80		brafs.5	. 2 |- ( ph -> X e. P )
81		brafs.6	. 2 |- ( ph -> Y e. P )
82		brafs.7	. 2 |- ( ph -> Z e. P )
83		brafs.8	. 2 |- ( ph -> W e. P )
84	10, 21, 28, 34, 44, 55, 62, 68, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83	br8d 29422	1 |- ( ph -> ( <. <. A , B >. , <. C , D >. >. O <. <. X , Y >. , <. Z , W >. >. <-> ( ( B e. ( A I C ) /\ Y e. ( X I Z ) ) /\ ( ( A .- B ) = ( X .- Y ) /\ ( B .- C ) = ( Y .- Z ) ) /\ ( ( A .- D ) = ( X .- W ) /\ ( B .- D ) = ( Y .- W ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  AFScafs 30747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-afs 30748

This theorem is referenced by:  tg5segofs  30751