Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afsval Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem afsval 30749
Description: Value of the AFS relation for a given geometry structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
brafs.p |- P = ( Base ` G )
brafs.d |- .- = ( dist ` G )
brafs.i |- I = (Itv ` G )
brafs.g |- ( ph -> G e. TarskiG )
Assertion
Ref Expression
afsval |- ( ph -> (AFS ` G ) = { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:   e, f, G   a, b, c, d, w, x, y, z, I   e, a, f, P, b, c, d, w, x, y, z   .- , a, b, c, d, w, x, y, z   ph, e, f
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, a, b, c, d)   G( x, y, z, w, a, b, c, d)   I( e, f)   .- ( e, f)
Proof of Theorem afsval
Dummy variables g h i p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-afs 30748 . . 3 |- AFS = ( g e. TarskiG |-> { <. e , f >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / h ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. a e. p E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) } )
21a1i 11 . 2 |- ( ph -> AFS = ( g e. TarskiG |-> { <. e , f >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / h ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. a e. p E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) } ) )
3 brafs.p . . . . 5 |- P = ( Base ` G )
4 brafs.d . . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
5 brafs.i . . . . 5 |- I = (Itv ` G )
6 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) -> p = P )
76eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) -> P = p )
87adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) -> P = p )
98adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> P = p )
109adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) -> P = p )
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) -> P = p )
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) -> P = p )
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> P = p )
147ad7antr 774 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> P = p )
15 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) -> i = I )
1615ad8antr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> i = I )
1716eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> I = i )
1817oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( a I c ) = ( a i c ) )
1918eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( b e. ( a I c ) <-> b e. ( a i c ) ) )
2017oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( x I z ) = ( x i z ) )
2120eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( y e. ( x I z ) <-> y e. ( x i z ) ) )
2219, 21anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) <-> ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) ) )
23 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) -> h = .- )
2423eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) -> .- = h )
2524ad8antr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> .- = h )
2625oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( a .- b ) = ( a h b ) )
2725oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( x .- y ) = ( x h y ) )
2826, 27eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( a .- b ) = ( x .- y ) <-> ( a h b ) = ( x h y ) ) )
2925oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( b .- c ) = ( b h c ) )
3025oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( y .- z ) = ( y h z ) )
3129, 30eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( b .- c ) = ( y .- z ) <-> ( b h c ) = ( y h z ) ) )
3228, 31anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) <-> ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) ) )
3325oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( a .- d ) = ( a h d ) )
3425oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( x .- w ) = ( x h w ) )
3533, 34eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( a .- d ) = ( x .- w ) <-> ( a h d ) = ( x h w ) ) )
3625oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( b .- d ) = ( b h d ) )
3725oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( y .- w ) = ( y h w ) )
3836, 37eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( b .- d ) = ( y .- w ) <-> ( b h d ) = ( y h w ) ) )
3935, 38anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) <-> ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) )
4022, 32, 393anbi123d 1399 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) <-> ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) )
41403anbi3d 1405 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
4214, 41rexeqbidva 3155 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
4313, 42rexeqbidva 3155 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
4412, 43rexeqbidva 3155 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) -> ( E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
4511, 44rexeqbidva 3155 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
4610, 45rexeqbidva 3155 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ c e. P ) -> ( E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
479, 46rexeqbidva 3155 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
488, 47rexeqbidva 3155 . . . . . 6 |- ( ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) /\ a e. P ) -> ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
497, 48rexeqbidva 3155 . . . . 5 |- ( ( p = P /\ h = .- /\ i = I ) -> ( E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) <-> E. a e. p E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) ) )
503, 4, 5, 49sbcie3s 15917 . . . 4 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / h ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. a e. p E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) <-> E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) ) )
5150adantl 482 . . 3 |- ( ( ph /\ g = G ) -> ( [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / h ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. a e. p E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) <-> E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) ) )
5251opabbidv 4716 . 2 |- ( ( ph /\ g = G ) -> { <. e , f >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / h ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. a e. p E. b e. p E. c e. p E. d e. p E. x e. p E. y e. p E. z e. p E. w e. p ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a i c ) /\ y e. ( x i z ) ) /\ ( ( a h b ) = ( x h y ) /\ ( b h c ) = ( y h z ) ) /\ ( ( a h d ) = ( x h w ) /\ ( b h d ) = ( y h w ) ) ) ) } = { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } )
53 brafs.g . 2 |- ( ph -> G e. TarskiG )
54 df-xp 5120 . . . . 5 |- ( ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) X. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) = { <. e , f >. | ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) }
55 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) e. _V
563, 55eqeltri 2697 . . . . . . . 8 |- P e. _V
5756, 56xpex 6962 . . . . . . 7 |- ( P X. P ) e. _V
5857, 57xpex 6962 . . . . . 6 |- ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) e. _V
5958, 58xpex 6962 . . . . 5 |- ( ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) X. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) e. _V
6054, 59eqeltrri 2698 . . . 4 |- { <. e , f >. | ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) } e. _V
61 3simpa 1058 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6261reximi 3011 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6362reximi 3011 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6463reximi 3011 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6564reximi 3011 . . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6665reximi 3011 . . . . . . . . 9 |- ( E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6766reximi 3011 . . . . . . . 8 |- ( E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6867reximi 3011 . . . . . . 7 |- ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
6968reximi 3011 . . . . . 6 |- ( E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) )
70 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. )
71 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. P /\ b e. P ) -> <. a , b >. e. ( P X. P ) )
7271ad7antr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> <. a , b >. e. ( P X. P ) )
73 simp-7r 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> c e. P )
74 simp-6r 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> d e. P )
75 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. P /\ d e. P ) -> <. c , d >. e. ( P X. P ) )
7673, 74, 75syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> <. c , d >. e. ( P X. P ) )
77 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. a , b >. e. ( P X. P ) /\ <. c , d >. e. ( P X. P ) ) -> <. <. a , b >. , <. c , d >. >. e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) )
7872, 76, 77syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> <. <. a , b >. , <. c , d >. >. e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) )
7970, 78eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. ) -> e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) )
80 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. )
81 simp-5r 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> x e. P )
82 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> y e. P )
83 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. P /\ y e. P ) -> <. x , y >. e. ( P X. P ) )
8481, 82, 83syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> <. x , y >. e. ( P X. P ) )
85 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> z e. P )
86 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> w e. P )
87 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. P /\ w e. P ) -> <. z , w >. e. ( P X. P ) )
8885, 86, 87syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> <. z , w >. e. ( P X. P ) )
89 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. x , y >. e. ( P X. P ) /\ <. z , w >. e. ( P X. P ) ) -> <. <. x , y >. , <. z , w >. >. e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) )
9084, 88, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> <. <. x , y >. , <. z , w >. >. e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) )
9180, 90eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) )
9279, 91anim12dan 882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) /\ ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) )
9392ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ w e. P ) -> ( ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
9493rexlimdva 3031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
9594rexlimdva 3031 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
9695rexlimdva 3031 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) /\ x e. P ) -> ( E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
9796rexlimdva 3031 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) /\ d e. P ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
9897rexlimdva 3031 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ c e. P ) -> ( E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
9998rexlimdva 3031 . . . . . . 7 |- ( ( a e. P /\ b e. P ) -> ( E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) ) )
10099rexlimivv 3036 . . . . . 6 |- ( E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) )
10169, 100syl 17 . . . . 5 |- ( E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) -> ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) )
102101ssopab2i 5003 . . . 4 |- { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } C_ { <. e , f >. | ( e e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) /\ f e. ( ( P X. P ) X. ( P X. P ) ) ) }
10360, 102ssexi 4803 . . 3 |- { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } e. _V
104103a1i 11 . 2 |- ( ph -> { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } e. _V )
1052, 52, 53, 104fvmptd 6288 1 |- ( ph -> (AFS ` G ) = { <. e , f >. | E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. x e. P E. y e. P E. z e. P E. w e. P ( e = <. <. a , b >. , <. c , d >. >. /\ f = <. <. x , y >. , <. z , w >. >. /\ ( ( b e. ( a I c ) /\ y e. ( x I z ) ) /\ ( ( a .- b ) = ( x .- y ) /\ ( b .- c ) = ( y .- z ) ) /\ ( ( a .- d ) = ( x .- w ) /\ ( b .- d ) = ( y .- w ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   <.cop 4183   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  AFScafs 30747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-afs 30748
This theorem is referenced by:  brafs  30750
  Copyright terms: Public domain W3C validator