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Theorem bropfvvvvlem 7256
Description: Lemma for bropfvvvv 7257. (Contributed by AV, 31-Dec-2020.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bropfvvvv.o |- O = ( a e. U |-> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) )
bropfvvvv.oo |- ( ( A e. U /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( B ( O ` A ) C ) = { <. d , e >. | th } )
Assertion
Ref Expression
bropfvvvvlem |- ( ( <. B , C >. e. ( S X. T ) /\ D ( B ( O ` A ) C ) E ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) )
Distinct variable group:   U, a
Allowed substitution hints:   ph( e, a, b, c, d)   th( e, a, b, c, d)   A( e, a, b, c, d)   B( e, a, b, c, d)   C( e, a, b, c, d)   D( e, a, b, c, d)   S( e, a, b, c, d)   T( e, a, b, c, d)   U( e, b, c, d)   E( e, a, b, c, d)   O( e, a, b, c, d)   V( e, a, b, c, d)   W( e, a, b, c, d)
Proof of Theorem bropfvvvvlem
StepHypRef Expression
1 opelxp 5146 . . 3 |- ( <. B , C >. e. ( S X. T ) <-> ( B e. S /\ C e. T ) )
2 brne0 4702 . . . . . . 7 |- ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( B ( O ` A ) C ) =/= (/) )
3 bropfvvvv.oo . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. U /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( B ( O ` A ) C ) = { <. d , e >. | th } )
433expb 1266 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) ) -> ( B ( O ` A ) C ) = { <. d , e >. | th } )
54breqd 4664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E <-> D { <. d , e >. | th } E ) )
6 brabv 6699 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D { <. d , e >. | th } E -> ( D e. _V /\ E e. _V ) )
76anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. U /\ D { <. d , e >. | th } E ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) )
87ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. U -> ( D { <. d , e >. | th } E -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
98adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) ) -> ( D { <. d , e >. | th } E -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
105, 9sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
1110ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. U -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
1211com23 86 . . . . . . . . 9 |- ( A e. U -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
1312a1d 25 . . . . . . . 8 |- ( A e. U -> ( ( B ( O ` A ) C ) =/= (/) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
14 bropfvvvv.o . . . . . . . . . 10 |- O = ( a e. U |-> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) )
1514fvmptndm 6308 . . . . . . . . 9 |- ( -. A e. U -> ( O ` A ) = (/) )
16 df-ov 6653 . . . . . . . . . . 11 |- ( B ( O ` A ) C ) = ( ( O ` A ) ` <. B , C >. )
17 fveq1 6190 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( O ` A ) = (/) -> ( ( O ` A ) ` <. B , C >. ) = ( (/) ` <. B , C >. ) )
1816, 17syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( O ` A ) = (/) -> ( B ( O ` A ) C ) = ( (/) ` <. B , C >. ) )
19 0fv 6227 . . . . . . . . . 10 |- ( (/) ` <. B , C >. ) = (/)
2018, 19syl6eq 2672 . . . . . . . . 9 |- ( ( O ` A ) = (/) -> ( B ( O ` A ) C ) = (/) )
21 eqneqall 2805 . . . . . . . . 9 |- ( ( B ( O ` A ) C ) = (/) -> ( ( B ( O ` A ) C ) =/= (/) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
2215, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 |- ( -. A e. U -> ( ( B ( O ` A ) C ) =/= (/) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
2313, 22pm2.61i 176 . . . . . . 7 |- ( ( B ( O ` A ) C ) =/= (/) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
242, 23mpcom 38 . . . . . 6 |- ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
2524com12 32 . . . . 5 |- ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
2625anc2ri 581 . . . 4 |- ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) /\ ( B e. S /\ C e. T ) ) ) )
27 3anan32 1050 . . . 4 |- ( ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( ( A e. U /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) /\ ( B e. S /\ C e. T ) ) )
2826, 27syl6ibr 242 . . 3 |- ( ( B e. S /\ C e. T ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
291, 28sylbi 207 . 2 |- ( <. B , C >. e. ( S X. T ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
3029imp 445 1 |- ( ( <. B , C >. e. ( S X. T ) /\ D ( B ( O ` A ) C ) E ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653
This theorem is referenced by:  bropfvvvv  7257
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