Theorem catidd 16341

Description: Deduce the identity arrow in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catidd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` C ) )
catidd.h	|- ( ph -> H = ( Hom ` C ) )
catidd.o	|- ( ph -> .x. = (comp ` C ) )
catidd.c	|- ( ph -> C e. Cat )
catidd.1	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> .1. e. ( x H x ) )
catidd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
catidd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )

Assertion

Ref	Expression
catidd	|- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> .1. ) )

Distinct variable groups:   y, f, .1.   x, B   x, f, C, y   ph, f, x, y

Allowed substitution hints:   B( y, f)   .x. ( x, y, f)   .1. ( x)   H( x, y, f)

Proof of Theorem catidd

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catidd.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f )
2	1	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
3		catidd.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = ( Base ` C ) )
4	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` C ) ) )
5	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` C ) ) )
6		catidd.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H = ( Hom ` C ) )
7	6	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y H x ) = ( y ( Hom ` C ) x ) )
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( f e. ( y H x ) <-> f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) )
9	4, 5, 8	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( y H x ) ) <-> ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) ) )
10		catidd.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .x. = (comp ` C ) )
11	10	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. y , x >. .x. x ) = ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) )
12	11	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( .1. ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f <-> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
14	2, 9, 13	3imtr3d 282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
15	14	3expd 1284	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( f e. ( y ( Hom ` C ) x ) -> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) ) ) )
16	15	imp41 619	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f )
17	16	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f )
18		catidd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f ) )
20	6	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( f e. ( x H y ) <-> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) )
22	4, 5, 21	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ f e. ( x H y ) ) <-> ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) ) )
23	10	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. x , x >. .x. y ) = ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) )
24	23	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( f ( <. x , x >. .x. y ) .1. ) = f <-> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
26	19, 22, 25	3imtr3d 282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
27	26	3expd 1284	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) ) ) )
28	27	imp41 619	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f )
30	17, 29	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
31	30	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
32		catidd.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .1. e. ( x H x ) )
33	32	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. B -> .1. e. ( x H x ) ) )
34	6	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
35	34	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( .1. e. ( x H x ) <-> .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) )
36	33, 4, 35	3imtr3d 282	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) -> .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) )
37	36	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
38		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
39		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
40		eqid 2622	. . . . . 6 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
41		catidd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
42	41	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> C e. Cat )
43		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
44	38, 39, 40, 42, 43	catideu 16336	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> E! g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) )
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .1. -> ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( g = .1. -> ( ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f <-> ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( g = .1. -> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f <-> A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .1. -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( g = .1. -> ( ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( g = .1. -> ( A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) )
51	47, 50	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( g = .1. -> ( ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) ) )
52	51	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( g = .1. -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) <-> A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) ) )
53	52	riota2 6633	. . . . 5 |- ( ( .1. e. ( x ( Hom ` C ) x ) /\ E! g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) <-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = .1. ) )
54	37, 44, 53	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( .1. ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) .1. ) = f ) <-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = .1. ) )
55	31, 54	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = .1. )
56	55	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` C ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> .1. ) )
57		eqid 2622	. . 3 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
58	38, 39, 40, 41, 57	cidfval 16337	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) ) )
59	3	mpteq1d 4738	. 2 |- ( ph -> ( x e. B |-> .1. ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> .1. ) )
60	56, 58, 59	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-cat 16329  df-cid 16330

This theorem is referenced by:  iscatd2  16342