Theorem cidfval 16337

Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cidfval.b	|- B = ( Base ` C )
cidfval.h	|- H = ( Hom ` C )
cidfval.o	|- .x. = (comp ` C )
cidfval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
cidfval.i	|- .1. = ( Id ` C )

Assertion

Ref	Expression
cidfval	|- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, B   C, f, g, x, y   .x. , f, g, x, y   f, H, g, x, y   ph, f, g, x, y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y, f, g)

Proof of Theorem cidfval

Dummy variables b c h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cidfval.i	. 2 |- .1. = ( Id ` C )
2		cidfval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) e. _V )
4		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = ( Base ` C ) )
5		cidfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( c = C -> ( Base ` c ) = B )
7		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) e. _V )
8		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> c = C )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = ( Hom ` C ) )
10		cidfval.h	. . . . . . 7 |- H = ( Hom ` C )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> ( Hom ` c ) = H )
12		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) e. _V )
13		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> c = C )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = (comp ` C ) )
15		cidfval.o	. . . . . . . 8 |- .x. = (comp ` C )
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> (comp ` c ) = .x. )
17		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> b = B )
18		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> h = H )
19	18	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h x ) = ( x H x ) )
20	18	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( y h x ) = ( y H x ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> o = .x. )
22	21	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. y , x >. o x ) = ( <. y , x >. .x. x ) )
23	22	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) )
24	23	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
25	20, 24	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f <-> A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f ) )
26	18	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x h y ) = ( x H y ) )
27	21	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( <. x , x >. o y ) = ( <. x , x >. .x. y ) )
28	27	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) )
29	28	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
30	26, 29	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f <-> A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) )
31	25, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
32	17, 31	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) <-> A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
33	19, 32	riotaeqbidv 6614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) )
34	17, 33	mpteq12dv 4733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) /\ o = .x. ) -> ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
35	12, 16, 34	csbied2 3561	. . . . . 6 |- ( ( ( c = C /\ b = B ) /\ h = H ) -> [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
36	7, 11, 35	csbied2 3561	. . . . 5 |- ( ( c = C /\ b = B ) -> [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
37	3, 6, 36	csbied2 3561	. . . 4 |- ( c = C -> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
38		df-cid 16330	. . . 4 |- Id = ( c e. Cat |-> [_ ( Base ` c ) / b ]_ [_ ( Hom ` c ) / h ]_ [_ (comp ` c ) / o ]_ ( x e. b |-> ( iota_ g e. ( x h x ) A. y e. b ( A. f e. ( y h x ) ( g ( <. y , x >. o x ) f ) = f /\ A. f e. ( x h y ) ( f ( <. x , x >. o y ) g ) = f ) ) ) )
39		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) e. _V
40	5, 39	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
41	40	mptex 6486	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) e. _V
42	37, 38, 41	fvmpt 6282	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
43	2, 42	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )
44	1, 43	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> .1. = ( x e. B |-> ( iota_ g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-cid 16330

This theorem is referenced by:  cidval  16338  cidfn  16340  catidd  16341  cidpropd  16370