Theorem cnmpt2vsca 21998

Description: Continuity of scalar multiplication; analogue of cnmpt22f 21478 which cannot be used directly because .s is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlmtrg.f	|- F = (Scalar ` W )
cnmpt1vsca.t	|- .x. = ( .s ` W )
cnmpt1vsca.j	|- J = ( TopOpen ` W )
cnmpt1vsca.k	|- K = ( TopOpen ` F )
cnmpt1vsca.w	|- ( ph -> W e. TopMod )
cnmpt1vsca.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` X ) )
cnmpt2vsca.m	|- ( ph -> M e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt2vsca.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
cnmpt2vsca.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2vsca	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( A .x. B ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, L   ph, x, y   x, W, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   .x. ( x, y)   L( y)   M( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1vsca.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt2vsca.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 21394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. (TopOn ` X ) /\ M e. (TopOn ` Y ) ) -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		cnmpt1vsca.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. TopMod )
6		tlmtrg.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = (Scalar ` W )
7	6	tlmscatps 21994	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. TopMod -> F e. TopSp )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. TopSp )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
10		cnmpt1vsca.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` F )
11	9, 10	istps 20738	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. TopSp <-> K e. (TopOn ` ( Base ` F ) ) )
12	8, 11	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` ( Base ` F ) ) )
13		cnmpt2vsca.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
14		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L tX M ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` F ) ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> ( Base ` F ) )
15	4, 12, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> ( Base ` F ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
17	16	fmpt2 7237	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. ( Base ` F ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> ( Base ` F ) )
18	15, 17	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. ( Base ` F ) )
19	18	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y A e. ( Base ` F ) )
20	19	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> A e. ( Base ` F ) )
21		tlmtps 21991	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. TopMod -> W e. TopSp )
22	5, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. TopSp )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
24		cnmpt1vsca.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( TopOpen ` W )
25	23, 24	istps 20738	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. TopSp <-> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
26	22, 25	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) )
27		cnmpt2vsca.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
28		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L tX M ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ J e. (TopOn ` ( Base ` W ) ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> ( Base ` W ) )
29	4, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> ( Base ` W ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
31	30	fmpt2 7237	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. ( Base ` W ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> ( Base ` W ) )
32	29, 31	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. ( Base ` W ) )
33	32	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y B e. ( Base ` W ) )
34	33	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> B e. ( Base ` W ) )
35		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .sf ` W ) = ( .sf ` W )
36		cnmpt1vsca.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
37	23, 6, 9, 35, 36	scafval 18882	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Base ` F ) /\ B e. ( Base ` W ) ) -> ( A ( .sf ` W ) B ) = ( A .x. B ) )
38	20, 34, 37	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( A ( .sf ` W ) B ) = ( A .x. B ) )
39	38	3impa 1259	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A ( .sf ` W ) B ) = ( A .x. B ) )
40	39	mpt2eq3dva 6719	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( A ( .sf ` W ) B ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( A .x. B ) ) )
41	35, 24, 6, 10	vscacn 21989	. . . 4 |- ( W e. TopMod -> ( .sf ` W ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
42	5, 41	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( .sf ` W ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
43	1, 2, 13, 27, 42	cnmpt22f 21478	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( A ( .sf ` W ) B ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
44	40, 43	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( A .x. B ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   TopOpenctopn 16082   .sfcscaf 18864  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   tX ctx 21363  TopModctlm 21961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-slot 15861  df-base 15863  df-topgen 16104  df-scaf 18866  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-trg 21963  df-tlm 21965

This theorem is referenced by: (None)