Theorem isfin1-3 9208

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-3	|- ( A e. V -> ( A e. Fin <-> `' [ C.] Fr ~P A ) )

Proof of Theorem isfin1-3

Dummy variables b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		porpss 6941	. . . 4 |- [ C.] Po ~P A
2		cnvpo 5673	. . . 4 |- ( [ C.] Po ~P A <-> `' [ C.] Po ~P A )
3	1, 2	mpbi 220	. . 3 |- `' [ C.] Po ~P A
4		pwfi 8261	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
5	4	biimpi 206	. . 3 |- ( A e. Fin -> ~P A e. Fin )
6		frfi 8205	. . 3 |- ( ( `' [ C.] Po ~P A /\ ~P A e. Fin ) -> `' [ C.] Fr ~P A )
7	3, 5, 6	sylancr 695	. 2 |- ( A e. Fin -> `' [ C.] Fr ~P A )
8		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( Fin i^i ~P A ) C_ ~P A
9		pwexg 4850	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
10		ssexg 4804	. . . . . 6 |- ( ( ( Fin i^i ~P A ) C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> ( Fin i^i ~P A ) e. _V )
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( Fin i^i ~P A ) e. _V )
12		0fin 8188	. . . . . . . 8 |- (/) e. Fin
13		0elpw 4834	. . . . . . . 8 |- (/) e. ~P A
14		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( Fin i^i ~P A ) <-> ( (/) e. Fin /\ (/) e. ~P A ) )
15	12, 13, 14	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- (/) e. ( Fin i^i ~P A )
16	15	ne0ii 3923	. . . . . 6 |- ( Fin i^i ~P A ) =/= (/)
17		fri 5076	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Fin i^i ~P A ) e. _V /\ `' [ C.] Fr ~P A ) /\ ( ( Fin i^i ~P A ) C_ ~P A /\ ( Fin i^i ~P A ) =/= (/) ) ) -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b )
18	8, 16, 17	mpanr12 721	. . . . 5 |- ( ( ( Fin i^i ~P A ) e. _V /\ `' [ C.] Fr ~P A ) -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b )
19	11, 18	sylan 488	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ `' [ C.] Fr ~P A ) -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b )
20	19	ex 450	. . 3 |- ( A e. V -> ( `' [ C.] Fr ~P A -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b ) )
21		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( Fin i^i ~P A ) C_ Fin
22		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b ) -> b e. ( Fin i^i ~P A ) )
23	21, 22	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b ) -> b e. Fin )
24		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b <-> -. E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [ C.] b )
25	21	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) -> b e. Fin )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> b e. Fin )
27		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . 13 |- { d } e. Fin
28		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. Fin /\ { d } e. Fin ) -> ( b u. { d } ) e. Fin )
29	26, 27, 28	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) e. Fin )
30		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) <-> ( b e. Fin /\ b e. ~P A ) )
31	30	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) -> b e. ~P A )
32	31	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) -> b C_ A )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> b C_ A )
34		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. A -> { d } C_ A )
35	34	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> { d } C_ A )
36	33, 35	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) C_ A )
37		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- b e. _V
38		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { d } e. _V
39	37, 38	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b u. { d } ) e. _V
40	39	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b u. { d } ) e. ~P A <-> ( b u. { d } ) C_ A )
41	36, 40	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) e. ~P A )
42	29, 41	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) e. ( Fin i^i ~P A ) )
43		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b i^i { d } ) = (/) <-> -. d e. b )
44	43	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. d e. b -> ( b i^i { d } ) = (/) )
45		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- d e. _V
46	45	snnz 4309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { d } =/= (/)
47		disjpss 4028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b i^i { d } ) = (/) /\ { d } =/= (/) ) -> b C. ( b u. { d } ) )
48	44, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. d e. b -> b C. ( b u. { d } ) )
49	48	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> b C. ( b u. { d } ) )
50	39, 37	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b u. { d } ) `' [ C.] b <-> b [ C.] ( b u. { d } ) )
51	39	brrpss 6940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b [ C.] ( b u. { d } ) <-> b C. ( b u. { d } ) )
52	50, 51	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b u. { d } ) `' [ C.] b <-> b C. ( b u. { d } ) )
53	49, 52	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) `' [ C.] b )
54		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( b u. { d } ) -> ( c `' [ C.] b <-> ( b u. { d } ) `' [ C.] b ) )
55	54	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b u. { d } ) e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( b u. { d } ) `' [ C.] b ) -> E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [ C.] b )
56	42, 53, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [ C.] b )
57	56	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ d e. A ) -> ( -. d e. b -> E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [ C.] b ) )
58	57	con1d 139	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ d e. A ) -> ( -. E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [ C.] b -> d e. b ) )
59	24, 58	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ d e. A ) -> ( A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b -> d e. b ) )
60	59	impancom 456	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b ) -> ( d e. A -> d e. b ) )
61	60	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b ) -> A C_ b )
62		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ A C_ b ) -> A e. Fin )
63	23, 61, 62	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b ) -> A e. Fin )
64	63	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [ C.] b -> A e. Fin )
65	20, 64	syl6 35	. 2 |- ( A e. V -> ( `' [ C.] Fr ~P A -> A e. Fin ) )
66	7, 65	impbid2 216	1 |- ( A e. V -> ( A e. Fin <-> `' [ C.] Fr ~P A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   Fr wfr 5070   `'ccnv 5113   [ C.] crpss 6936   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  isfin1-4  9209  fin12  9235