Theorem copissgrp 41808

Description: A structure with a constant group addition operation is a semigroup if the constant is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
copissgrp.b	|- B = ( Base ` M )
copissgrp.p	|- ( +g ` M ) = ( x e. B , y e. B |-> C )
copissgrp.n	|- ( ph -> B =/= (/) )
copissgrp.c	|- ( ph -> C e. B )

Assertion

Ref	Expression
copissgrp	|- ( ph -> M e. SGrp )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y   x, M   ph, x, y

Allowed substitution hint:   M( y)

Proof of Theorem copissgrp

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copissgrp.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
2		copissgrp.p	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( x e. B , y e. B |-> C )
3		copissgrp.n	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
4		copissgrp.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. B )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> C e. B )
6	1, 2, 3, 5	opmpt2ismgm 41807	. 2 |- ( ph -> M e. Mgm )
7		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( x e. B , y e. B |-> C ) )
8		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( x = C /\ y = c ) ) -> C = C )
9		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> C e. B )
10		simpr3 1069	. . . . . . 7 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
11	7, 8, 9, 10, 9	ovmpt2d 6788	. . . . . 6 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( C ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = C )
12		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( x = a /\ y = C ) ) -> C = C )
13		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> a e. B )
14	7, 12, 13, 9, 9	ovmpt2d 6788	. . . . . 6 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) C ) = C )
15	11, 14	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( C e. B /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( C ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) C ) )
16	4, 15	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( C ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) C ) )
17		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( x e. B , y e. B |-> C ) )
18		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( x = a /\ y = b ) ) -> C = C )
19		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> a e. B )
20		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> b e. B )
21	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> C e. B )
22	17, 18, 19, 20, 21	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) b ) = C )
23	22	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) b ) ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = ( C ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) )
24		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( x = b /\ y = c ) ) -> C = C )
25		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
26	17, 24, 20, 25, 21	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( b ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = C )
27	26	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) ( b ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) ) = ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) C ) )
28	16, 23, 27	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) b ) ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) ( b ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) ) )
29	28	ralrimivvva 2972	. 2 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) b ) ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) ( b ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) ) )
30	2	eqcomi 2631	. . 3 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( +g ` M )
31	1, 30	issgrp 17285	. 2 |- ( M e. SGrp <-> ( M e. Mgm /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) b ) ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) = ( a ( x e. B , y e. B |-> C ) ( b ( x e. B , y e. B |-> C ) c ) ) ) )
32	6, 29, 31	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> M e. SGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240  SGrpcsgrp 17283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284

This theorem is referenced by:  cznrng  41955