Theorem dfgrp2e 17448

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, a left identity and a left inverse for each element. Alternate definition in [Lang] p. 7. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp2.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp2.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp2e	|- ( G e. Grp <-> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, n, x   i, G, n, x   .+ , i, n, x   y, B, z, x   y, G, z   y, .+ , z

Proof of Theorem dfgrp2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		dfgrp2.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	dfgrp2 17447	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. SGrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
4		ax-1 6	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( n e. B -> G e. _V ) )
5		fvprc 6185	. . . . . . . 8 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
6	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( n e. B <-> n e. ( Base ` G ) )
7		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base ` G ) = (/) -> ( n e. ( Base ` G ) <-> n e. (/) ) )
8		noel 3919	. . . . . . . . . . 11 |- -. n e. (/)
9	8	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. (/) -> G e. _V )
10	7, 9	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ( Base ` G ) = (/) -> ( n e. ( Base ` G ) -> G e. _V ) )
11	6, 10	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` G ) = (/) -> ( n e. B -> G e. _V ) )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( -. G e. _V -> ( n e. B -> G e. _V ) )
13	4, 12	pm2.61i 176	. . . . . 6 |- ( n e. B -> G e. _V )
14	13	a1d 25	. . . . 5 |- ( n e. B -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> G e. _V ) )
15	14	rexlimiv 3027	. . . 4 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> G e. _V )
16	1, 2	issgrpv 17286	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( G e. SGrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( G e. SGrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
18	17	pm5.32ri 670	. 2 |- ( ( G e. SGrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
19	3, 18	bitri 264	1 |- ( G e. Grp <-> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  SGrpcsgrp 17283   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by: (None)