Theorem dirdm 17234

Description: A direction's domain is equal to its field. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dirdm	|- ( R e. DirRel -> dom R = U. U. R )

Proof of Theorem dirdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3776	. . . 4 |- dom R C_ ( dom R u. ran R )
2		dmrnssfld 5384	. . . 4 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
3	1, 2	sstri 3612	. . 3 |- dom R C_ U. U. R
4	3	a1i 11	. 2 |- ( R e. DirRel -> dom R C_ U. U. R )
5		dmresi 5457	. . 3 |- dom ( _I |` U. U. R ) = U. U. R
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. U. R = U. U. R
7	6	isdir 17232	. . . . . . 7 |- ( R e. DirRel -> ( R e. DirRel <-> ( ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) /\ ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) ) ) )
8	7	ibi 256	. . . . . 6 |- ( R e. DirRel -> ( ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) /\ ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) ) )
9	8	simpld 475	. . . . 5 |- ( R e. DirRel -> ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) )
10	9	simprd 479	. . . 4 |- ( R e. DirRel -> ( _I |` U. U. R ) C_ R )
11		dmss 5323	. . . 4 |- ( ( _I |` U. U. R ) C_ R -> dom ( _I |` U. U. R ) C_ dom R )
12	10, 11	syl 17	. . 3 |- ( R e. DirRel -> dom ( _I |` U. U. R ) C_ dom R )
13	5, 12	syl5eqssr 3650	. 2 |- ( R e. DirRel -> U. U. R C_ dom R )
14	4, 13	eqssd 3620	1 |- ( R e. DirRel -> dom R = U. U. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   DirRelcdir 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-dir 17230

This theorem is referenced by:  dirref  17235  dirge  17237  tailfval  32367  tailf  32370  filnetlem4  32376