Theorem elpotr 31686

Description: A class of transitive sets is partially ordered by _E. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elpotr	|- ( A. z e. A Tr z -> _E Po A )

Distinct variable group:   z, A

Proof of Theorem elpotr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alral 2928	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
2	1	alimi 1739	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
3		alral 2928	. . . . 5 |- ( A. x A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5	4	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. z e. A A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. z e. A A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
6		ralcom 3098	. . . 4 |- ( A. z e. A A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
7		ralcom 3098	. . . . 5 |- ( A. z e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
8	7	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
9	6, 8	bitri 264	. . 3 |- ( A. z e. A A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
10	5, 9	sylib 208	. 2 |- ( A. z e. A A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
11		dftr2 4754	. . 3 |- ( Tr z <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
12	11	ralbii 2980	. 2 |- ( A. z e. A Tr z <-> A. z e. A A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
13		df-po 5035	. . 3 |- ( _E Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
14		epel 5032	. . . . . . . 8 |- ( x _E y <-> x e. y )
15		epel 5032	. . . . . . . 8 |- ( y _E z <-> y e. z )
16	14, 15	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
17		epel 5032	. . . . . . 7 |- ( x _E z <-> x e. z )
18	16, 17	imbi12i 340	. . . . . 6 |- ( ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) <-> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
19		elirrv 8504	. . . . . . . 8 |- -. x e. x
20		epel 5032	. . . . . . . 8 |- ( x _E x <-> x e. x )
21	19, 20	mtbir 313	. . . . . . 7 |- -. x _E x
22	21	biantrur 527	. . . . . 6 |- ( ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) <-> ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
23	18, 22	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
24	23	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. z e. A ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
25	24	2ralbii 2981	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x _E x /\ ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
26	13, 25	bitr4i 267	. 2 |- ( _E Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
27	10, 12, 26	3imtr4i 281	1 |- ( A. z e. A Tr z -> _E Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Tr wtr 4752   _E cep 5028   Po wpo 5033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035

This theorem is referenced by: (None)