Theorem elptr 21376

Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
elptr	|- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( G ` y ) e. B )

Distinct variable groups:   x, g, y, G   z, g, A, x, y   g, F, x, y, z   g, V, x, y, z   y, W

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)   G( z)   W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr

Dummy variables h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1087	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> G Fn A )
2		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A e. V )
3		fnex 6481	. . . 4 |- ( ( G Fn A /\ A e. V ) -> G e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> G e. _V )
5		simp2r 1088	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) )
6		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( A \ w ) = ( A \ W ) )
7	6	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
8	7	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) )
9	8	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) )
10	1, 5, 9	3jca 1242	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( h = G -> ( h ` y ) = ( G ` y ) )
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( h = G -> ( G ` y ) = ( h ` y ) )
13	12	ixpeq2dv 7924	. . . . . 6 |- ( h = G -> X_ y e. A ( G ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) )
14	13	biantrud 528	. . . . 5 |- ( h = G -> ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) <-> ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X_ y e. A ( G ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) ) ) )
15		fneq1 5979	. . . . . 6 |- ( h = G -> ( h Fn A <-> G Fn A ) )
16	11	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( h = G -> ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) <-> ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( h = G -> ( A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) <-> A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) )
18	11	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( h = G -> ( ( h ` y ) = U. ( F ` y ) <-> ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
19	18	rexralbidv 3058	. . . . . 6 |- ( h = G -> ( E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) <-> E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
20	15, 17, 19	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( h = G -> ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) <-> ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
21	14, 20	bitr3d 270	. . . 4 |- ( h = G -> ( ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X_ y e. A ( G ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) ) <-> ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
22	21	spcegv 3294	. . 3 |- ( G e. _V -> ( ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X_ y e. A ( G ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) ) ) )
23	4, 10, 22	sylc 65	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X_ y e. A ( G ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) ) )
24		ptbas.1	. . 3 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
25	24	elpt 21375	. 2 |- ( X_ y e. A ( G ` y ) e. B <-> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X_ y e. A ( G ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) ) )
26	23, 25	sylibr 224	1 |- ( ( A e. V /\ ( G Fn A /\ A. y e. A ( G ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( G ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( G ` y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   U.cuni 4436   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  elptr2  21377