Theorem elptr2 21377

Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
elptr2.1	|- ( ph -> A e. V )
elptr2.2	|- ( ph -> W e. Fin )
elptr2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. ( F ` k ) )
elptr2.4	|- ( ( ph /\ k e. ( A \ W ) ) -> S = U. ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
elptr2	|- ( ph -> X_ k e. A S e. B )

Distinct variable groups:   B, k   x, g, y   ph, k   g, k, z, A, x, y   g, F, k, x, y, z   S, g, x   g, V, k, x, y, z   k, W, y   y, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, g)   B( x, y, z, g)   S( z, k)   W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nffvmpt1 6199	. . . 4 |- F/_ k ( ( k e. A |-> S ) ` y )
2		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y ( ( k e. A |-> S ) ` k )
3		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = k -> ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = ( ( k e. A |-> S ) ` k ) )
4	1, 2, 3	cbvixp 7925	. . 3 |- X_ y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = X_ k e. A ( ( k e. A |-> S ) ` k )
5		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
6		elptr2.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. ( F ` k ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> S ) = ( k e. A |-> S )
8	7	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( k e. A /\ S e. ( F ` k ) ) -> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = S )
9	5, 6, 8	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = S )
10	9	ixpeq2dva 7923	. . 3 |- ( ph -> X_ k e. A ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = X_ k e. A S )
11	4, 10	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> X_ y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = X_ k e. A S )
12		elptr2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
13	6	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A S e. ( F ` k ) )
14	7	fnmpt 6020	. . . 4 |- ( A. k e. A S e. ( F ` k ) -> ( k e. A |-> S ) Fn A )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> S ) Fn A )
16	9, 6	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) e. ( F ` k ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A ( ( k e. A |-> S ) ` k ) e. ( F ` k ) )
18	1	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ k ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. ( F ` y )
19		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y ( ( k e. A |-> S ) ` k ) e. ( F ` k )
20		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
21	3, 20	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( y = k -> ( ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. ( F ` y ) <-> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) e. ( F ` k ) ) )
22	18, 19, 21	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. ( F ` y ) <-> A. k e. A ( ( k e. A |-> S ) ` k ) e. ( F ` k ) )
23	17, 22	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. ( F ` y ) )
24		elptr2.2	. . 3 |- ( ph -> W e. Fin )
25		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ W ) -> k e. A )
26	25, 9	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ W ) ) -> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = S )
27		elptr2.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ W ) ) -> S = U. ( F ` k ) )
28	26, 27	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ W ) ) -> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
29	28	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( A \ W ) ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
30	1	nfeq1 2778	. . . . 5 |- F/ k ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = U. ( F ` y )
31		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = U. ( F ` k )
32	20	unieqd 4446	. . . . . 6 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
33	3, 32	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( y = k -> ( ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = U. ( F ` y ) <-> ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = U. ( F ` k ) ) )
34	30, 31, 33	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. y e. ( A \ W ) ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = U. ( F ` y ) <-> A. k e. ( A \ W ) ( ( k e. A |-> S ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
35	29, 34	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ( A \ W ) ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = U. ( F ` y ) )
36		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
37	36	elptr 21376	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( ( k e. A |-> S ) Fn A /\ A. y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( W e. Fin /\ A. y e. ( A \ W ) ( ( k e. A |-> S ) ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. B )
38	12, 15, 23, 24, 35, 37	syl122anc 1335	. 2 |- ( ph -> X_ y e. A ( ( k e. A |-> S ) ` y ) e. B )
39	11, 38	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> X_ k e. A S e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  ptbasid  21378  ptbasin  21380  ptpjpre2  21383  ptopn  21386