Theorem elpt 21375

Description: Elementhood in the bases of a product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
elpt	|- ( S e. B <-> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( h ` y ) ) )

Distinct variable groups:   g, h, w, x, y, z, A   g, F, h, w, x, y, z   S, g, h, x

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w, g, h)   S( y, z, w)

Proof of Theorem elpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . 3 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( S e. B <-> S e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } )
3		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> S = X_ y e. A ( g ` y ) )
4		ixpexg 7932	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( g ` y ) e. _V -> X_ y e. A ( g ` y ) e. _V )
5		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( g ` y ) e. _V )
6	4, 5	mprg 2926	. . . . 5 |- X_ y e. A ( g ` y ) e. _V
7	3, 6	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> S e. _V )
8	7	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) -> S e. _V )
9		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( x = S -> ( x = X_ y e. A ( g ` y ) <-> S = X_ y e. A ( g ` y ) ) )
10	9	anbi2d 740	. . . 4 |- ( x = S -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) <-> ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) ) )
11	10	exbidv 1850	. . 3 |- ( x = S -> ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) <-> E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) ) )
12	8, 11	elab3 3358	. 2 |- ( S e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } <-> E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) )
13		fneq1 5979	. . . . 5 |- ( g = h -> ( g Fn A <-> h Fn A ) )
14		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( g ` y ) = ( h ` y ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) <-> ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( g = h -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) <-> A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) )
17	14	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( ( g ` y ) = U. ( F ` y ) <-> ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
18	17	rexralbidv 3058	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) <-> E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
19		difeq2 3722	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A \ z ) = ( A \ w ) )
20	19	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( A. y e. ( A \ z ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) <-> A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
21	20	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) <-> E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) )
22	18, 21	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( g = h -> ( E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) <-> E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
23	13, 16, 22	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( g = h -> ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) <-> ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
24	14	ixpeq2dv 7924	. . . . 5 |- ( g = h -> X_ y e. A ( g ` y ) = X_ y e. A ( h ` y ) )
25	24	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( g = h -> ( S = X_ y e. A ( g ` y ) <-> S = X_ y e. A ( h ` y ) ) )
26	23, 25	anbi12d 747	. . 3 |- ( g = h -> ( ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) <-> ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( h ` y ) ) ) )
27	26	cbvexv 2275	. 2 |- ( E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( g ` y ) ) <-> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( h ` y ) ) )
28	2, 12, 27	3bitri 286	1 |- ( S e. B <-> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. w e. Fin A. y e. ( A \ w ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ S = X_ y e. A ( h ` y ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   U.cuni 4436   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  elptr  21376  ptbasin  21380  ptbasfi  21384  ptrecube  33409