Theorem f1oiso 6601

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1oiso	|- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y   x, H, y, z, w   x, R, y, z, w

Allowed substitution hints:   B( z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem f1oiso

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of1 6136	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
3		df-br 4654	. . . . 5 |- ( ( H ` v ) S ( H ` u ) <-> <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S )
4		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S <-> <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) )
5		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( H ` v ) e. _V
6		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( H ` u ) e. _V
7		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` v ) -> ( z = ( H ` x ) <-> ( H ` v ) = ( H ` x ) ) )
8	7	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` v ) -> ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) ) )
9	8	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` v ) -> ( ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
10	9	2rexbidv 3057	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( H ` v ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
11		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` u ) -> ( w = ( H ` y ) <-> ( H ` u ) = ( H ` y ) ) )
12	11	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( H ` u ) -> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) ) )
13	12	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( H ` u ) -> ( ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
14	13	2rexbidv 3057	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( H ` u ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
15	5, 6, 10, 14	opelopab 4997	. . . . . . . 8 |- ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) )
16		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) )
17		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) <-> v = x ) )
18		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = x <-> x = v )
19	17, 18	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) <-> x = v ) )
20	19	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) <-> x = v ) )
21	20	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
22	16, 21	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. y e. A ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
24		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. A ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) )
25	23, 24	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
26	25	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. x e. A ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
27		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> ( x R y <-> v R y ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> ( ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) <-> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
29	28	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
30	29	ceqsrexv 3336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. A -> ( E. x e. A ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) -> ( E. x e. A ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
32	26, 31	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
33		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) <-> u = y ) )
34		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = y <-> y = u )
35	33, 34	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) <-> y = u ) )
36	35	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) <-> y = u ) )
37	36	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) <-> ( y = u /\ v R y ) ) )
38	37	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) -> ( E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) <-> E. y e. A ( y = u /\ v R y ) ) )
39		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = u -> ( v R y <-> v R u ) )
40	39	ceqsrexv 3336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. A -> ( E. y e. A ( y = u /\ v R y ) <-> v R u ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) -> ( E. y e. A ( y = u /\ v R y ) <-> v R u ) )
42	38, 41	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) -> ( E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) <-> v R u ) )
43	32, 42	sylan9bb 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> v R u ) )
44	43	anandis 873	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> v R u ) )
45	15, 44	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } <-> v R u ) )
46	4, 45	sylan9bbr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S <-> v R u ) )
47	46	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S <-> v R u ) )
48	3, 47	syl5rbb 273	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) )
49	48	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> A. v e. A A. u e. A ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) )
50	2, 49	sylan 488	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> A. v e. A A. u e. A ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) )
51		df-isom 5897	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. v e. A A. u e. A ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) ) )
52	1, 50, 51	sylanbrc 698	1 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  f1oiso2  6602  hartogslem1  8447  cnso  14976