Theorem f1oiso2 6602

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oiso2.1	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oiso2	|- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, H, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oiso2.1	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) }
2		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( `' H ` x ) e. A )
3	2	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
4	3	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) e. A )
5		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( `' H ` y ) e. A )
6	5	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
7	6	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` y ) e. A )
8		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( H ` ( `' H ` x ) ) = x )
9	8	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
10		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( H ` ( `' H ` y ) ) = y )
11	10	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
12	9, 11	anim12dan 882	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
13	12	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
14		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( `' H ` y ) ) )
16	15	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( y = ( H ` w ) <-> y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) ) )
18		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( `' H ` x ) R w <-> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' H ` y ) -> ( ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' H ` y ) e. A /\ ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` ( `' H ` y ) ) ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
21	7, 13, 14, 20	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( `' H ` x ) ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( x = ( H ` z ) <-> x = ( H ` ( `' H ` x ) ) ) )
24	23	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) <-> ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) ) )
25		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( z R w <-> ( `' H ` x ) R w ) )
26	24, 25	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
27	26	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( z = ( `' H ` x ) -> ( E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) <-> E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) )
28	27	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H ` x ) e. A /\ E. w e. A ( ( x = ( H ` ( `' H ` x ) ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ ( `' H ` x ) R w ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
29	4, 21, 28	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) )
30	29	3expib 1268	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) -> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
31		simp3ll 1132	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x = ( H ` z ) )
32		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
33		simp2l 1087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z e. A )
34		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
35	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( H ` z ) e. B )
36	32, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) e. B )
37	31, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> x e. B )
38		simp3lr 1133	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y = ( H ` w ) )
39		simp2r 1088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> w e. A )
40	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. B )
41	32, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) e. B )
42	38, 41	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> y e. B )
43		simp3r 1090	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> z R w )
44	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` z ) = x )
45		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
46	32, 33, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` z ) = x -> ( `' H ` x ) = z ) )
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) = z )
48	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( H ` w ) = y )
49		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. A ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
50	32, 39, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( H ` w ) = y -> ( `' H ` y ) = w ) )
51	48, 50	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` y ) = w )
52	43, 47, 51	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) )
53	37, 42, 52	jca31 557	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. A /\ w e. A ) /\ ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) )
54	53	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) ) )
55	54	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) ) )
56	30, 55	impbid 202	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) <-> E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) ) )
57	56	opabbidv 4716	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( `' H ` x ) R ( `' H ` y ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
58	1, 57	syl5eq 2668	. 2 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } )
59		f1oiso 6601	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. x , y >. | E. z e. A E. w e. A ( ( x = ( H ` z ) /\ y = ( H ` w ) ) /\ z R w ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
60	58, 59	mpdan 702	1 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   {copab 4712   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  fnwelem  7292