Theorem f1oprswap 6180

Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprswap	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } )

Proof of Theorem f1oprswap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 6177	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A e. V ) -> { <. A , A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
2	1	anidms 677	. . . 4 |- ( A e. V -> { <. A , A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
3	2	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A = B ) -> { <. A , A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
4		dfsn2 4190	. . . . . 6 |- { <. A , A >. } = { <. A , A >. , <. A , A >. }
5		opeq2 4403	. . . . . . 7 |- ( A = B -> <. A , A >. = <. A , B >. )
6		opeq1 4402	. . . . . . 7 |- ( A = B -> <. A , A >. = <. B , A >. )
7	5, 6	preq12d 4276	. . . . . 6 |- ( A = B -> { <. A , A >. , <. A , A >. } = { <. A , B >. , <. B , A >. } )
8	4, 7	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( A = B -> { <. A , A >. } = { <. A , B >. , <. B , A >. } )
9		dfsn2 4190	. . . . . 6 |- { A } = { A , A }
10		preq2 4269	. . . . . 6 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
11	9, 10	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( A = B -> { A } = { A , B } )
12	8, 11, 11	f1oeq123d 6133	. . . 4 |- ( A = B -> ( { <. A , A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } <-> { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } ) )
13	12	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A = B ) -> ( { <. A , A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } <-> { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } ) )
14	3, 13	mpbid 222	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A = B ) -> { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } )
15		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> A e. V )
16		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
17		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> A =/= B )
18		fnprg 5947	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( B e. W /\ A e. V ) /\ A =/= B ) -> { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } )
19	15, 16, 16, 15, 17, 18	syl221anc 1337	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } )
20		cnvsng 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )
21		cnvsng 5621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> `' { <. B , A >. } = { <. A , B >. } )
22	21	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. B , A >. } = { <. A , B >. } )
23	20, 22	uneq12d 3768	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( `' { <. A , B >. } u. `' { <. B , A >. } ) = ( { <. B , A >. } u. { <. A , B >. } ) )
24		uncom 3757	. . . . . . . 8 |- ( { <. B , A >. } u. { <. A , B >. } ) = ( { <. A , B >. } u. { <. B , A >. } )
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( `' { <. A , B >. } u. `' { <. B , A >. } ) = ( { <. A , B >. } u. { <. B , A >. } ) )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( `' { <. A , B >. } u. `' { <. B , A >. } ) = ( { <. A , B >. } u. { <. B , A >. } ) )
27		df-pr 4180	. . . . . . . 8 |- { <. A , B >. , <. B , A >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. B , A >. } )
28	27	cnveqi 5297	. . . . . . 7 |- `' { <. A , B >. , <. B , A >. } = `' ( { <. A , B >. } u. { <. B , A >. } )
29		cnvun 5538	. . . . . . 7 |- `' ( { <. A , B >. } u. { <. B , A >. } ) = ( `' { <. A , B >. } u. `' { <. B , A >. } )
30	28, 29	eqtri 2644	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. , <. B , A >. } = ( `' { <. A , B >. } u. `' { <. B , A >. } )
31	26, 30, 27	3eqtr4g 2681	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> `' { <. A , B >. , <. B , A >. } = { <. A , B >. , <. B , A >. } )
32	31	fneq1d 5981	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> ( `' { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } <-> { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } ) )
33	19, 32	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> `' { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } )
34		dff1o4 6145	. . 3 |- ( { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } <-> ( { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } /\ `' { <. A , B >. , <. B , A >. } Fn { A , B } ) )
35	19, 33, 34	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ A =/= B ) -> { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } )
36	14, 35	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. , <. B , A >. } : { A , B } -1-1-onto-> { A , B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  fveqf1o  6557  symg2bas  17818  subfacp1lem2a  31162