Theorem symg2bas 17818

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 17816. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symg1bas.2	|- B = ( Base ` G )
symg2bas.0	|- A = { I , J }

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	|- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( SymGrp ` { J } ) = ( SymGrp ` { J } )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- { J } = { J }
4	1, 2, 3	symg1bas 17816	. . . 4 |- ( J e. W -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
5	4	ad2antll 765	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
6		symg1bas.2	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		symg1bas.1	. . . . . 6 |- G = ( SymGrp ` A )
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 |- A = { I , J }
9		df-pr 4180	. . . . . . . . 9 |- { I , J } = ( { I } u. { J } )
10		sneq 4187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = J -> { I } = { J } )
11	10	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = J -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
13		unidm 3756	. . . . . . . . . 10 |- ( { J } u. { J } ) = { J }
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = { J } )
15	9, 14	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { I , J } = { J } )
16	8, 15	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> A = { J } )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` { J } ) )
18	7, 17	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> G = ( SymGrp ` { J } ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
20	6, 19	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
21		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( I = J -> I = J )
22	21, 21	opeq12d 4410	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , I >. = <. J , J >. )
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. = <. J , J >. )
24	23	preq1d 4274	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
25		eqid 2622	. . . . . . 7 |- <. J , J >. = <. J , J >.
26		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. J , J >. e. _V
27	26, 26, 26	preqsn 4393	. . . . . . 7 |- ( { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } <-> ( <. J , J >. = <. J , J >. /\ <. J , J >. = <. J , J >. ) )
28	25, 25, 27	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. }
29	24, 28	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } )
30		opeq1 4402	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , J >. = <. J , J >. )
31		opeq2 4403	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. J , I >. = <. J , J >. )
32	30, 31	preq12d 4276	. . . . . . 7 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
33	32, 28	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
34	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
35	29, 34	preq12d 4276	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } )
36		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. J , J >. } = { <. J , J >. }
37		snex 4908	. . . . . 6 |- { <. J , J >. } e. _V
38	37, 37, 37	preqsn 4393	. . . . 5 |- ( { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } } <-> ( { <. J , J >. } = { <. J , J >. } /\ { <. J , J >. } = { <. J , J >. } ) )
39	36, 36, 38	mpbir2an 955	. . . 4 |- { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } }
40	35, 39	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } } )
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
42		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` G ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
44	43	a1i 11	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B e. _V )
45		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J <-> -. I = J )
46	45	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> I =/= J )
47	46	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
48		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) <-> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
49	47, 48	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
50	49	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
51	7, 6, 8	symg2hash 17817	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) -> ( # ` B ) = 2 )
52	50, 51	syl 17	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( # ` B ) = 2 )
53		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> I e. V )
54	53	ancri 575	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( I e. V /\ I e. V ) )
55		id 22	. . . . . . . 8 |- ( J e. W -> J e. W )
56	55	ancri 575	. . . . . . 7 |- ( J e. W -> ( J e. W /\ J e. W ) )
57	54, 56	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) )
58		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> I =/= J )
59	58	ancri 575	. . . . . . 7 |- ( I =/= J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
60	45, 59	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( -. I = J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
61		f1oprg 6181	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) -> ( ( I =/= J /\ I =/= J ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
62	61	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) /\ ( I =/= J /\ I =/= J ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
63	57, 60, 62	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
64		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. I , I >. , <. J , J >. } )
65		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> A = { I , J } )
66	64, 65, 65	f1oeq123d 6133	. . . . . 6 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
68	63, 67	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
69		prex 4909	. . . . 5 |- { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V
70	7, 6	elsymgbas2 17801	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A ) )
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
72	68, 71	sylibr 224	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B )
73		f1oprswap 6180	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
74		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( A = { I , J } -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. I , J >. , <. J , I >. } )
75	74, 65, 65	f1oeq123d 6133	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
76	8, 75	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
77	73, 76	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
78	77	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
79		prex 4909	. . . . 5 |- { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V
80	7, 6	elsymgbas2 17801	. . . . 5 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
82	78, 81	sylibr 224	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B )
83		opex 4932	. . . . . 6 |- <. I , I >. e. _V
84	83, 26	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V )
85		opex 4932	. . . . . 6 |- <. I , J >. e. _V
86		opex 4932	. . . . . 6 |- <. J , I >. e. _V
87	85, 86	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V )
88	84, 87	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) )
89		opthg2 4948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. <-> ( I = I /\ I = J ) ) )
90		eqtr 2641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = I /\ I = J ) -> I = J )
91	89, 90	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. -> I = J ) )
92	91	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
93	92	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
94	45, 93	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
95	94	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. )
96	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I e. V /\ I e. V ) )
97		opthg 4946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
99		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = J /\ I = I ) -> I = J )
100	98, 99	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. -> I = J ) )
101	100	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
102	101	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
103	45, 102	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
104	103	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. )
105	95, 104	jca 554	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
106	105	orcd 407	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) )
107		prneimg 4388	. . . 4 |- ( ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) )
108	88, 106, 107	mpsyl 68	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } )
109		hash2prd 13257	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) -> ( ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } ) )
110	109	imp 445	. . 3 |- ( ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) /\ ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
111	44, 52, 72, 82, 108, 110	syl23anc 1333	. 2 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
112	41, 111	pm2.61ian 831	1 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  psgnprfval  17941  m2detleiblem1  20430  m2detleiblem5  20431  m2detleiblem6  20432  m2detleiblem3  20435  m2detleiblem4  20436  m2detleib  20437