Theorem subfacp1lem2a 31162

Description: Lemma for subfacp1 31168. Properties of a bijection on K augmented with the two-element flip to get a bijection on K u. { 1 , M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
subfac.n	|- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a	|- A = { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) }
subfacp1lem1.n	|- ( ph -> N e. NN )
subfacp1lem1.m	|- ( ph -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) )
subfacp1lem1.x	|- M e. _V
subfacp1lem1.k	|- K = ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } )
subfacp1lem2.5	|- F = ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } )
subfacp1lem2.6	|- ( ph -> G : K -1-1-onto-> K )

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2a	|- ( ph -> ( F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( F ` 1 ) = M /\ ( F ` M ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   f, n, x, y, A   f, F, x, y   f, N, n, x, y   ph, x, y   D, n   f, K, n, x, y   f, M, x, y   S, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, n)   D( x, y, f)   S( f)   F( n)   G( x, y, f, n)   M( n)

Proof of Theorem subfacp1lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subfacp1lem2.6	. . . 4 |- ( ph -> G : K -1-1-onto-> K )
2		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 |- M e. _V
4		f1oprswap 6180	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. _V ) -> { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } : { 1 , M } -1-1-onto-> { 1 , M } )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 |- { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } : { 1 , M } -1-1-onto-> { 1 , M }
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } : { 1 , M } -1-1-onto-> { 1 , M } )
7		derang.d	. . . . . 6 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
8		subfac.n	. . . . . 6 |- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
9		subfacp1lem.a	. . . . . 6 |- A = { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) }
10		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
11		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) )
12		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 |- K = ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } )
13	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12	subfacp1lem1 31161	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K i^i { 1 , M } ) = (/) /\ ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( # ` K ) = ( N - 1 ) ) )
14	13	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ph -> ( K i^i { 1 , M } ) = (/) )
15		f1oun 6156	. . . 4 |- ( ( ( G : K -1-1-onto-> K /\ { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } : { 1 , M } -1-1-onto-> { 1 , M } ) /\ ( ( K i^i { 1 , M } ) = (/) /\ ( K i^i { 1 , M } ) = (/) ) ) -> ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) )
16	1, 6, 14, 14, 15	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ph -> ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) )
17	13	simp2d 1074	. . . 4 |- ( ph -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
18		subfacp1lem2.5	. . . . . . 7 |- F = ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } )
19		f1oeq1 6127	. . . . . . 7 |- ( F = ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( F : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) )
21		f1oeq2 6128	. . . . . 6 |- ( ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( F : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) ) )
22	20, 21	syl5bbr 274	. . . . 5 |- ( ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) ) )
23		f1oeq3 6129	. . . . 5 |- ( ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
24	22, 23	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
25	17, 24	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( K u. { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( K u. { 1 , M } ) <-> F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
26	16, 25	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
27		f1ofun 6139	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> Fun F )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun F )
29		snsspr1 4345	. . . . . 6 |- { <. 1 , M >. } C_ { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. }
30		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } C_ ( G u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } )
31	30, 18	sseqtr4i 3638	. . . . . 6 |- { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } C_ F
32	29, 31	sstri 3612	. . . . 5 |- { <. 1 , M >. } C_ F
33		1ex 10035	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
34	33	snid 4208	. . . . . 6 |- 1 e. { 1 }
35	3	dmsnop 5609	. . . . . 6 |- dom { <. 1 , M >. } = { 1 }
36	34, 35	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- 1 e. dom { <. 1 , M >. }
37		funssfv 6209	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ { <. 1 , M >. } C_ F /\ 1 e. dom { <. 1 , M >. } ) -> ( F ` 1 ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
38	32, 36, 37	mp3an23 1416	. . . 4 |- ( Fun F -> ( F ` 1 ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
39	28, 38	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
40	33, 3	fvsn 6446	. . 3 |- ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M
41	39, 40	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = M )
42		snsspr2 4346	. . . . . 6 |- { <. M , 1 >. } C_ { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. }
43	42, 31	sstri 3612	. . . . 5 |- { <. M , 1 >. } C_ F
44	3	snid 4208	. . . . . 6 |- M e. { M }
45	33	dmsnop 5609	. . . . . 6 |- dom { <. M , 1 >. } = { M }
46	44, 45	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- M e. dom { <. M , 1 >. }
47		funssfv 6209	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ { <. M , 1 >. } C_ F /\ M e. dom { <. M , 1 >. } ) -> ( F ` M ) = ( { <. M , 1 >. } ` M ) )
48	43, 46, 47	mp3an23 1416	. . . 4 |- ( Fun F -> ( F ` M ) = ( { <. M , 1 >. } ` M ) )
49	28, 48	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( { <. M , 1 >. } ` M ) )
50	3, 33	fvsn 6446	. . 3 |- ( { <. M , 1 >. } ` M ) = 1
51	49, 50	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) = 1 )
52	26, 41, 51	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( F : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( F ` 1 ) = M /\ ( F ` M ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  31163  subfacp1lem3  31164  subfacp1lem4  31165  subfacp1lem5  31166