Theorem fbflim2 21781

Description: A condition for a filter base B to converge to a point A. Use neighborhoods instead of open neighborhoods. Compare fbflim 21780. (Contributed by FL, 4-Jul-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fbflim.3	|- F = ( X filGen B )

Assertion

Ref	Expression
fbflim2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   B, n, x   n, J, x   n, X, x   x, F

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem fbflim2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbflim.3	. . 3 |- F = ( X filGen B )
2	1	fbflim 21780	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) ) ) )
3		topontop 20718	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	3	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
5		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> A e. X )
6		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> X = U. J )
8	5, 7	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> A e. U. J )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
10	9	isneip 20909	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A e. U. J ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( n C_ U. J /\ E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) ) ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( n C_ U. J /\ E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) ) ) )
12		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( n C_ U. J /\ E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) ) -> E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) )
13	11, 12	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) ) )
14		r19.29 3072	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) /\ E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) ) -> E. y e. J ( ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) /\ ( A e. y /\ y C_ n ) ) )
15		pm3.45 879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) -> ( ( A e. y /\ y C_ n ) -> ( E. x e. B x C_ y /\ y C_ n ) ) )
16	15	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) /\ ( A e. y /\ y C_ n ) ) -> ( E. x e. B x C_ y /\ y C_ n ) )
17		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ y -> ( y C_ n -> x C_ n ) )
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ n -> ( x C_ y -> x C_ n ) )
19	18	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ n -> ( E. x e. B x C_ y -> E. x e. B x C_ n ) )
20	19	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. B x C_ y /\ y C_ n ) -> E. x e. B x C_ n )
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) /\ ( A e. y /\ y C_ n ) ) -> E. x e. B x C_ n )
22	21	rexlimivw 3029	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. J ( ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) /\ ( A e. y /\ y C_ n ) ) -> E. x e. B x C_ n )
23	14, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) /\ E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) ) -> E. x e. B x C_ n )
24	23	ex 450	. . . . . 6 |- ( A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) -> ( E. y e. J ( A e. y /\ y C_ n ) -> E. x e. B x C_ n ) )
25	13, 24	syl9 77	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. x e. B x C_ n ) ) )
26	25	ralrimdv 2968	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n ) )
27	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( y e. J /\ A e. y ) ) -> J e. Top )
28		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( y e. J /\ A e. y ) ) -> y e. J )
29		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( y e. J /\ A e. y ) ) -> A e. y )
30		opnneip 20923	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y e. J /\ A e. y ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( y e. J /\ A e. y ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
32		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( x C_ n <-> x C_ y ) )
33	32	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( n = y -> ( E. x e. B x C_ n <-> E. x e. B x C_ y ) )
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n -> E. x e. B x C_ y ) )
35	31, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( y e. J /\ A e. y ) ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n -> E. x e. B x C_ y ) )
36	35	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. J ) -> ( A e. y -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n -> E. x e. B x C_ y ) ) )
37	36	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. J ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n -> ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) ) )
38	37	ralrimdva 2969	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n -> A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) ) )
39	26, 38	impbid 202	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n ) )
40	39	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. y e. J ( A e. y -> E. x e. B x C_ y ) ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n ) ) )
41	2, 40	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) E. x e. B x C_ n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   neicnei 20901   fLim cflim 21738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-flim 21743

This theorem is referenced by: (None)